مدل اتمی بور و ترازهای انرژی
چرا اتم کلاسیک ناپایدار بود، بور چه فرض کرد و چگونه انرژی هر تراز هیدروژن به دست میآید.
در پایان این درس میتوانید
- دو نارسایی مدل کلاسیک اتم را توضیح دهی.
- دو اصل موضوع بور را بیان کنی.
- انرژی و شعاع هر تراز هیدروژن را از روی n حساب کنی.
- اختلاف انرژی دو تراز را به طول موج فوتون تبدیل کنی.
- فشردهشدن ترازها با بزرگشدن n را در شبیهساز تشخیص دهی.
یک لامپ رشتهای معمولی را از منشور بگذران؛ روی پرده رنگینکمانی کامل و بیشکاف میبینی. حالا همان کار را با لامپ تخلیهٔ گاز هیدروژن تکرار کن. اینبار بهجای رنگینکمان فقط چند خط باریک و جدا از هم ظاهر میشود: یک خط قرمز پررنگ، یک خط آبیفیروزهای و دو خط بنفشِ کمرنگتر. هر گاز اثر انگشت طیفی خودش را دارد و این اثر انگشت هرگز عوض نمیشود. همین «طیف خطی» نخستین سرنخ محکم بود که نشان داد انرژی درون اتم نمیتواند هر مقدار دلخواهی داشته باشد.
چرا اتمِ کلاسیک نمیتوانست پایدار بماند؟
در مدل رادرفورد، الکترون مانند سیارهای گرد هستهٔ کوچک و پرچگال میچرخد و نیروی کولن نقش گرانش را بازی میکند. اما الکترومغناطیس کلاسیک یک حکم صریح دارد: هر بار الکتریکیِ شتابدار باید پیوسته موج الکترومغناطیسی بتاباند. الکترونی که روی دایره میچرخد شتاب مرکزگرا دارد، پس باید انرژی از دست بدهد، مارپیچوار به هسته نزدیک شود و در کسری از میلیاردم ثانیه سقوط کند. افزون بر این، در چنین سقوطی شعاع و بسامد پیوسته تغییر میکرد و طیف باید پیوسته میبود، نه خطی. پس هم پایداری اتم و هم طیف خطی، هر دو با فیزیک کلاسیک ناسازگار بودند.
دو اصل موضوع بور
نیلز بور در سال ۱۹۱۳ دو فرض جسورانه افزود. اصل نخست: الکترون تنها روی مدارهای معینی میتواند بچرخد که در آنها اندازهٔ حرکت زاویهای مضرب درستی از h تقسیم بر ۲π باشد. روی این «مدارهای پایا» الکترون با آنکه شتاب دارد هیچ تابشی نمیکند. اصل دوم: اتم فقط هنگام پرش از یک مدار پایا به مدار پایای دیگر انرژی مبادله میکند و اندازهٔ این انرژی دقیقاً برابر اختلاف انرژی دو تراز است.
اگر این دو فرض را با قانون کولن و قانون دوم نیوتون ترکیب کنی، به دو رابطهٔ ستونفقراتِ مدل میرسی: شعاع مدار nاُم برابر n۲ ضربدر شعاع بور (۰٫۰۵۲۹ نانومتر) است و انرژی تراز nاُم برابر منفیِ ۱۳٫۶ تقسیم بر n۲ الکترونولت. علامت منفی معنای دقیقی دارد: الکترون در چاه پتانسیل هسته «مقید» است و برای آزادکردنش باید انرژی بدهیم. هرچه n بزرگتر شود، تراز به صفر نزدیکتر، مدار گشادتر و پیوند سستتر میشود. مهمتر آنکه فاصلهٔ ترازها یکنواخت نیست: پلهٔ میان n=۱ و n=۲ برابر ۱۰٫۲ الکترونولت است، ولی پلهٔ میان n=۵ و n=۶ تنها حدود ۰٫۱۷ الکترونولت.
تراز صفر را جایی گرفتهایم که الکترون در بینهایت و بیحرکت باشد. به همین دلیل انرژی همهٔ حالتهای مقید منفی است و انرژی یونش اتم هیدروژن از حالت پایه دقیقاً همان ۱۳٫۶ الکترونولت میشود.
مثال عددی حلشده
گذار الکترون از تراز n=۳ به تراز n=۲ را کامل حساب کن. انرژی تراز سوم برابر منفیِ ۱۳٫۶ تقسیم بر ۹ یعنی منفیِ ۱٫۵۱ الکترونولت است و انرژی تراز دوم برابر منفیِ ۱۳٫۶ تقسیم بر ۴ یعنی منفیِ ۳٫۴۰ الکترونولت. اختلاف این دو برابر ۱٫۸۹ الکترونولت میشود و همین مقدار انرژی به شکل یک فوتون بیرون میرود. طول موج آن فوتون را با رابطهٔ سرانگشتیِ «۱۲۴۰ تقسیم بر انرژی بر حسب الکترونولت» بگیر: ۱۲۴۰ تقسیم بر ۱٫۸۹ برابر ۶۵۶ نانومتر است، یعنی همان خط قرمز مشهور هیدروژن که اندازهگیری دقیقش ۶۵۶٫۳ نانومتر را میدهد. شعاع مدارها را هم بسنج: شعاع تراز سوم ۹ برابر شعاع بور یعنی ۰٫۴۷۶ نانومتر و شعاع تراز دوم ۴ برابر آن یعنی ۰٫۲۱۲ نانومتر است؛ نسبت این دو ۲٫۲۵ میشود. پس الکترون در این پرش هم به هسته نزدیکتر میشود و هم انرژیاش پایین میآید.
کاربرد واقعی
اخترشناسان هرگز به ستارهها دسترسی فیزیکی ندارند، اما ترکیب شیمیایی آنها را با همین ترازها میخوانند: نور ستاره را میشکافند، جای خطوط را با جدول ترازهای عناصر میسنجند و میگویند در آن ستاره چه اتمهایی هست. عنصر هلیم نخستینبار در سال ۱۸۶۸ در طیف خورشید شناسایی شد، سالها پیش از آنکه روی زمین جدا شود. در آزمایشگاه هم لامپ هیدروژن ابزار استاندارد واسنجی طیفسنج است، چون جای خطوطش با دقت بسیار بالا معلوم است.
رابطههای کلیدی
مأموریت شبیهسازی
گذار پایهٔ n=۳ به n=۲ را ببین، سپس ترازها را جابهجا کن تا نقشهٔ انرژی اتم هیدروژن دستت بیاید.
- با تراز اولیه n₁=۳ و تراز نهایی n₂=۲ شروع کن و انرژی فوتون و طول موج گزارششده را یادداشت کن.
- تراز نهایی n₂ را روی ۲ نگه دار و تراز اولیه n₁ را به ۴ و سپس ۵ ببر؛ ببین طول موج کوتاهتر میشود یا بلندتر.
- گذار n=۲ به n=۱ را بساز و انرژیاش را با گذار n=۳ به n=۲ مقایسه کن.
- گذار n=۴ به n=۳ را امتحان کن و نشان بده اختلاف ترازهای بالا بسیار کوچکتر است.
- برای سه گذار دلخواه، مقدار ۱۳٫۶ ضربدر (۱/تراز نهایی n₂² منهای ۱/تراز اولیه n₁²) را روی کاغذ حساب کن و با عدد شبیهساز بسنج.
آزمون این درس
۵ پرسش چهارگزینهای. پس از ثبت، پاسخ درست و توضیح هر پرسش را میبینید. میتوانید هر چند بار که خواستید تلاش کنید؛ بهترین نمره در کارنامه ثبت میشود.