قرقره، نخ و دستگاه دو جسمی

اگر تا به حال داخل چاه یک آسانسور را دیده باشی، حتماً قاب فلزی سنگینی را دیده‌ای که خلاف جهت کابین بالا و پایین می‌رود. این «وزنهٔ تعادل» با کابل و از روی یک قرقره به کابین بسته شده است و کار موتور را به‌شدت سبک می‌کند. همین چیدمان ساده، یعنی دو جرم آویخته از دو سر یک نخ که روی قرقره افتاده است، در فیزیک نامی مشخص دارد: ماشین آتوود. جرج آتوود آن را در سال ۱۷۸۴ ساخت تا بتواند سقوط آزاد را «رقیق» کند و با کرنومترهای کُندِ آن روزگار اندازه بگیرد.

فرض‌های ماشین آتوود ایدئال

برای اینکه مسئله به یک رابطهٔ تمیز برسد، چهار فرض می‌گذاریم: نخ جرم ندارد، نخ کش‌ناپذیر است، قرقره لَختی دورانی ندارد و محور قرقره بی‌اصطکاک است. هر فرض یک نتیجهٔ مشخص دارد. بی‌جرم بودن نخ و بی‌اصطکاک بودن قرقره باعث می‌شود کشش در سراسر نخ یک مقدار واحد باشد؛ اگر قرقره لختی داشت، برای شتاب‌دادن به آن گشتاور خالص لازم بود و کشش دو طرف با هم فرق می‌کرد. کش‌ناپذیر بودن نخ هم یک «قید هندسی» می‌سازد: هر قدر یک وزنه پایین برود، وزنهٔ دیگر دقیقاً همان‌قدر بالا می‌رود. نتیجهٔ این قید آن است که تندی دو وزنه در هر لحظه برابر است و بزرگی شتابشان هم برابر است؛ فقط جهت‌ها مخالف یکدیگرند.

از دیاگرام جسم آزاد تا رابطهٔ شتاب

روی هر وزنه تنها دو نیرو کار می‌کند: وزن رو به پایین و کشش نخ رو به بالا. جهت مثبت را برای هر جسم در جهت حرکت واقعی خودش بگیر تا علامت‌ها ساده شوند. برای وزنهٔ سنگین‌تر که پایین می‌رود، قانون دوم نیوتون می‌گوید وزنش منهای کشش برابر است با جرمش ضربدر شتاب. برای وزنهٔ سبک‌تر که بالا می‌رود، کشش منهای وزنش برابر است با جرمش ضربدر همان شتاب. اگر این دو معادله را با هم جمع کنی، کشش حذف می‌شود و می‌ماند: اختلاف دو وزن برابر مجموع دو جرم ضربدر شتاب. پس شتاب برابر است با اختلاف جرم‌ها ضربدر g تقسیم بر مجموع جرم‌ها.

شکل این رابطه تفسیر روشنی دارد: نیروی محرکِ خالص تنها اختلاف وزن‌هاست، ولی همین نیرو باید هر دو جرم را با هم شتاب دهد. به همین دلیل هرچه دو جرم به هم نزدیک‌تر باشند، حرکت کندتر و قابل اندازه‌گیری‌تر می‌شود.

مثال عددی حل‌شده

دو وزنهٔ ۱٫۰۰ و ۱٫۲۰ کیلوگرمی را با g برابر ۹٫۸۱ در نظر بگیر. وزن وزنهٔ سبک ۹٫۸۱ نیوتون و وزن وزنهٔ سنگین ۱۱٫۷۷ نیوتون است، پس نیروی خالص محرک برابر ۱٫۹۶ نیوتون می‌شود. جرم کلی که باید شتاب بگیرد ۲٫۲۰ کیلوگرم است، بنابراین شتاب برابر ۱٫۹۶ تقسیم بر ۲٫۲۰ یعنی ۰٫۸۹۲ متر بر مجذور ثانیه است. این عدد حدود یک‌یازدهم شتاب سقوط آزاد است؛ یعنی گرانش را یازده برابر رقیق کرده‌ای. حالا فرض کن دستگاه از سکون رها شود و وزنهٔ سنگین ۰٫۵۰ متر پایین برود. چون سرعت اولیه صفر و شتاب ثابت است، زمان برابر ریشهٔ دوم دو برابر جابه‌جایی تقسیم بر شتاب می‌شود: ریشهٔ دوم ۱٫۰۰ تقسیم بر ۰٫۸۹۲ که ۱٫۰۶ ثانیه است. سرعت در پایان این مسیر برابر شتاب ضربدر زمان یعنی ۰٫۹۴ متر بر ثانیه می‌شود. برای مقایسه، اگر همان وزنه را آزادانه رها می‌کردی، این ۰٫۵۰ متر را تنها در ۰٫۳۲ ثانیه می‌پیمود.

کاربرد واقعی

وزنهٔ تعادل آسانسور دقیقاً بر همین اصل کار می‌کند: جرم آن را حدود جرم کابین به‌علاوهٔ نیمی از بار نامی می‌گیرند تا اختلاف جرم دو طرف کوچک بماند و موتور فقط همان اختلاف را جابه‌جا کند، نه کل وزن کابین. پنجره‌های کشویی قدیمی هم وزنه‌هایی پنهان در قاب داشتند که با طناب و قرقره به لنگهٔ پنجره بسته می‌شد و باعث می‌شد پنجره در هر ارتفاعی معلق بماند. در تله‌کابین و بالابرهای معدن هم همین ایده تکرار می‌شود.