شتاب دستگاه و کشش نخ

یک وزنهٔ آویخته و ساکن، کشش نخ را دقیقاً برابر وزن خودش نگه می‌دارد. اما همین‌که دستگاه شروع به شتاب‌گرفتن کند، این تعادل به هم می‌خورد. در ماشین آتوود نخ باید هم‌زمان دو کار به‌ظاهر متضاد انجام دهد: وزنهٔ سنگین را کمی «نگه دارد» تا کندتر از سقوط آزاد بیفتد، و وزنهٔ سبک را «بالا بکشد». نتیجه یک کشش واحد است که در جایی میان دو وزن می‌نشیند.

چرا کشش با وزن هیچ‌کدام برابر نیست؟

به وزنهٔ سنگین نگاه کن: اگر کشش با وزن آن برابر بود، نیروی خالص صفر می‌شد و شتاب نمی‌گرفت؛ پس کشش باید از وزن آن کمتر باشد. حالا وزنهٔ سبک را ببین: اگر کشش با وزن آن برابر بود، هرگز بالا نمی‌رفت؛ پس کشش باید از وزن آن بیشتر باشد. همین دو استدلال ساده، بدون هیچ محاسبه‌ای، کشش را میان دو وزن حبس می‌کند. برای گرفتن مقدار دقیق کافی است شتابی را که در درس پیش به دست آوردی در یکی از دو معادلهٔ نیوتون بگذاری. نتیجه رابطهٔ زیبایی است: کشش برابر است با دو برابر حاصل‌ضرب دو جرم ضربدر g، تقسیم بر مجموع جرم‌ها.

حالت‌های حدی و نیروی محور قرقره

سه حالت مرزی، درستی رابطه را نشان می‌دهند. اگر دو جرم برابر باشند، شتاب صفر می‌شود و کشش دقیقاً برابر وزن هر وزنه در می‌آید؛ همان حالت ایستای آشنا. اگر یکی از جرم‌ها به صفر میل کند، کشش هم به صفر میل می‌کند و جرم دیگر عملاً در سقوط آزاد است. و اگر اختلاف دو جرم بسیار زیاد باشد، کشش به دو برابر وزن جرم کوچک‌تر نزدیک می‌شود و از آن فراتر نمی‌رود. نکتهٔ مهم دیگر به محور قرقره مربوط است: چون هر دو سر نخ رو به پایین کشیده می‌شوند، نیروی وارد بر محور برابر دو برابر کشش است. تا وقتی دستگاه شتاب دارد، این مقدار از وزن کل دو وزنه کمتر می‌ماند، چون بخشی از وزن صرف شتاب‌دادن به خودِ وزنه‌ها می‌شود و به محور نمی‌رسد.

اگر کشش را درست حساب کرده باشی، هر دو معادلهٔ نیوتون باید هم‌زمان برقرار باشند. همیشه هر دو را جداگانه بیازما؛ این بهترین راه برای گرفتن خطای علامت و خطای جهت است.

مثال عددی حل‌شده

وزنه‌های ۰٫۵۰ و ۲٫۰۰ کیلوگرمی را با g برابر ۹٫۸۱ در نظر بگیر. اختلاف جرم ۱٫۵۰ کیلوگرم و مجموع ۲٫۵۰ کیلوگرم است، پس شتاب برابر ۱٫۵۰ ضربدر ۹٫۸۱ تقسیم بر ۲٫۵۰ یعنی ۵٫۸۹ متر بر مجذور ثانیه می‌شود؛ یعنی حدود شصت درصد سقوط آزاد. کشش را از رابطهٔ خودش بگیر: ۲ ضربدر ۰٫۵۰ ضربدر ۲٫۰۰ ضربدر ۹٫۸۱ تقسیم بر ۲٫۵۰ که ۷٫۸۵ نیوتون می‌شود. حالا هر دو معادله را بیازما. برای وزنهٔ سنگین: وزنش ۱۹٫۶۲ نیوتون است و ۱۹٫۶۲ منهای ۷٫۸۵ برابر ۱۱٫۷۷ نیوتون می‌شود؛ از سوی دیگر جرم ضربدر شتاب برابر ۲٫۰۰ ضربدر ۵٫۸۹ یعنی ۱۱٫۷۷ نیوتون است. برای وزنهٔ سبک: وزنش ۴٫۹۱ نیوتون است و ۷٫۸۵ منهای ۴٫۹۱ برابر ۲٫۹۴ نیوتون می‌شود؛ و جرم ضربدر شتاب برابر ۰٫۵۰ ضربدر ۵٫۸۹ یعنی ۲٫۹۴ نیوتون. هر دو معادله می‌خوانند. دقت کن که ۷٫۸۵ نیوتون درست میان ۴٫۹۱ و ۱۹٫۶۲ نشسته است. نیروی وارد بر محور قرقره هم ۱۵٫۷۰ نیوتون است، در حالی که وزن کل دو وزنه ۲۴٫۵۳ نیوتون می‌شود؛ اختلاف این دو همان سهمی است که صرف شتاب گرفتن دستگاه می‌شود.

کاربرد واقعی

در طراحی جرثقیل و بالابر، مهندس باید بداند کابل در لحظهٔ راه‌افتادن چه نیرویی تحمل می‌کند، نه فقط در حالت ایستا؛ شتاب رو به بالا کشش را از وزن بار بیشتر می‌کند و همین لحظه‌ها معیار انتخاب ضریب اطمینان کابل‌اند. در آسانسور هم سنجش کشش دو طرف قرقرهٔ محرک، پایهٔ سیستم‌های وزن‌سنجی و تشخیص اضافه‌بار است. حتی در تجهیزات کشش درمانی که برای ستون مهره‌ها به کار می‌روند، همین رابطهٔ ساده تعیین می‌کند وزنه‌های آویخته چه نیرویی به بدن وارد می‌کنند.