اندازهگیری g با ماشین آتوود
چگونه با رقیقکردن گرانش و یک زمانسنج ساده، شتاب گرانش را با خطای کمتر از یک درصد بسنجی.
در پایان این درس میتوانید
- ضریب رقیقسازی گرانش را برای هر جفت جرم حساب کنی.
- شتاب را از ارتفاع و زمان سقوط به دست آوری.
- رابطهٔ آتوود را وارون کنی و g را بازسازی کنی.
- اثر خطای زمانسنجی بر خطای g را برآورد کنی.
- منابع خطای دستگاهی ماشین آتوود واقعی را نام ببری.
اندازهگیری مستقیم شتاب سقوط آزاد کار سادهای نیست: جسمی که از ارتفاع یک متری رها شود تنها ۰٫۴۵ ثانیه در هواست و با کرنومتر دستی، خطای زمان واکنش انسان میتواند هماندازهٔ خودِ کمیت شود. جرج آتوود در سال ۱۷۸۴ راهحلی هوشمندانه یافت: بهجای تندتر کردن ابزار، گرانش را رقیق کن. اگر دو وزنهٔ تقریباً همجرم را از دو سر نخی روی قرقره بیاویزی، دستگاه با شتابی بهمراتب کوچکتر از g حرکت میکند و زمان را با آسودگی میتوان اندازه گرفت.
ایدهٔ رقیقکردن گرانش
شتاب دستگاه برابر است با اختلاف جرمها ضربدر g تقسیم بر مجموع جرمها. کسر نخست، یعنی اختلاف تقسیم بر مجموع، همواره عددی میان صفر و یک است و نقش یک «ضریب رقیقسازی» را بازی میکند. اگر جرمها را ۱٫۸ و ۲٫۰ کیلوگرم بگیری، این ضریب برابر ۰٫۲ تقسیم بر ۳٫۸ یعنی حدود ۰٫۰۵۳ میشود و شتاب به کمتر از یکبیستم g میرسد. حالا سقوط یک متر بهجای نیم ثانیه، نزدیک دو ثانیه طول میکشد و خطای نسبی زمانسنجی چهار برابر کوچکتر میشود.
روش اندازهگیری در سه گام
گام یکم: دستگاه را از حال سکون رها کن و زمان t را برای پیمودن ارتفاع معلوم h اندازه بگیر. گام دوم: چون شتاب ثابت و سرعت اولیه صفر است، h برابر یکدوم a ضربدر مربع t میشود؛ پس شتاب برابر دو برابر h تقسیم بر مربع t است. گام سوم: رابطهٔ آتوود را وارون کن و g را بیرون بکش: g برابر a ضربدر مجموع جرمها تقسیم بر اختلاف جرمها. همین سه گام، کل آزمایش است. توجه کن که برای این کار به هیچ نیروسنجی نیاز نداری؛ فقط یک ترازو، یک خطکش و یک زمانسنج کافی است.
در این روش خطای زمان دو برابر میشود: چون شتاب با مربع t نسبت وارون دارد، یک درصد خطا در اندازهگیری t به حدود دو درصد خطا در g میانجامد. پس زمان را چند بار اندازه بگیر و میانگین را به کار ببر.
مثال عددی حلشده
وزنههای ۱٫۸۰۰ و ۲٫۰۰۰ کیلوگرمی را بگیر و ارتفاع سقوط را دقیقاً ۱٫۰۰۰ متر تنظیم کن. فرض کن کرنومتر عدد ۱٫۹۷ ثانیه را نشان بدهد. شتاب برابر ۲ ضربدر ۱٫۰۰۰ تقسیم بر مربع ۱٫۹۷ یعنی ۲ تقسیم بر ۳٫۸۸۱ میشود که ۰٫۵۱۵ متر بر مجذور ثانیه است. حالا g را بازسازی کن: ۰٫۵۱۵ ضربدر ۳٫۸۰۰ تقسیم بر ۰٫۲۰۰ برابر ۹٫۷۹ متر بر مجذور ثانیه. اختلاف این عدد با مقدار مرجع ۹٫۸۱ تنها حدود دو دهم درصد است. برای دیدن حساسیت روش، فرض کن بهاشتباه زمان را ۱٫۹۹ ثانیه بخوانی: آنگاه شتاب ۰٫۵۰۵ و g برابر ۹٫۶۰ میشود، یعنی حدود دو درصد خطا در برابر یک درصد خطای زمان. و اگر بخواهی دقت را بالاتر ببری، جرمها را به هم نزدیکتر کن: با ۱٫۹۰ و ۲٫۰۰ کیلوگرم شتاب به ۰٫۲۵۲ میرسد و زمان سقوط یک متر به ۲٫۸۲ ثانیه بلند میشود.
خطاهای دستگاهی و کاربرد واقعی
ماشین آتوود واقعی هرگز ایدئال نیست. قرقره لختی دورانی دارد و برای چرخاندنش گشتاور لازم است، پس بخشی از نیروی خالص صرف شتاب دورانی قرقره میشود و شتاب خطی کمتر از مقدار ایدئال در میآید. اصطکاک محور، جرم نخ و مقاومت هوا هم در همین جهت عمل میکنند. نتیجه آنکه g اندازهگیریشده معمولاً کمی کمتر از ۹٫۸۱ به دست میآید؛ اگر خطای تو همیشه در یک جهت بود، بهجای بیدقتی تصادفی دنبال یک عامل فیزیکی بگرد. امروز g را با گرانیسنجهای نوری و تداخلسنج اتمی تا دقت حدود یک در میلیارد اندازه میگیرند و از تغییرات بسیار کوچک آن برای یافتن سفرههای نفت، ردیابی آبهای زیرزمینی و پایش آتشفشانها استفاده میکنند.
رابطههای کلیدی
مأموریت شبیهسازی
با دو جرم بسیار نزدیک به هم کار کن و از شتاب کوچکِ بهدستآمده، مقدار g را دوباره بساز.
- با m۱=۱٫۸ و m۲=۲ و g=۹٫۸۱ شتاب را بخوان و زمان سقوط ۱ متر را از رابطهٔ ریشهٔ دوم ۲h تقسیم بر a حساب کن.
- از روی همان شتاب، مقدار g را با رابطهٔ a ضربدر (m۱+m۲) تقسیم بر (m۲ منهای m۱) بازسازی کن و ببین به ۹٫۸۱ میرسی.
- m۱ را به ۱٫۹ و سپس ۱٫۹۵ ببر و ببین شتاب چقدر کوچک و زمان سقوط چقدر بلند میشود.
- g را روی ۱٫۶ بگذار، شتاب تازه را بخوان و همان رابطهٔ بازسازی را بیازما تا ببینی روش مستقل از مقدار g کار میکند.
- m۱ را ۰٫۵ بگذار؛ نشان بده شتاب بزرگ میشود و توضیح بده چرا این حالت برای اندازهگیری دقیق g مناسب نیست.
آزمون این درس
۵ پرسش چهارگزینهای. پس از ثبت، پاسخ درست و توضیح هر پرسش را میبینید. میتوانید هر چند بار که خواستید تلاش کنید؛ بهترین نمره در کارنامه ثبت میشود.