تلفات پسماند و کاربرد در ترانسفورماتور

ترانسفورماتور یک شارژر یا یک تابلوی برق، حتی وقتی هیچ باری به آن وصل نیست، کمی گرم می‌شود و صدای ملایمی می‌دهد. این گرما از جایی می‌آید: هر بار که میدان وارونه می‌شود، بخشی از انرژی برق در هسته می‌ماند و به گرما تبدیل می‌گردد. جالب اینکه مقدار این انرژی را می‌توان مستقیم از روی مساحت حلقهٔ پسماند خواند.

مساحت حلقه، یعنی انرژی

کار لازم برای مغناطیدن واحد حجم ماده برابر انتگرال H نسبت به B است. اگر یک چرخهٔ کامل را طی کنی، بخشی از این کار برمی‌گردد و بخشی برنمی‌گردد؛ تفاضل این دو دقیقاً برابر مساحت محصورشدهٔ حلقه است. پس مساحت حلقه یکای ژول بر متر مکعب دارد و «انرژی تلف‌شده در هر چرخه به ازای واحد حجم» است. اگر ماده در ثانیه f بار این چرخه را تکرار کند و حجم هسته V باشد، توان تلفات پسماند برابر است با حاصل‌ضرب مساحت حلقه در حجم در بسامد. اشتاین‌متز شکل تجربی ساده‌تری هم پیشنهاد کرد: تلفات با بسامد به توان یک و با بیشینهٔ چگالی شار به توان n متناسب است، که n برای فولاد سیلیسیم‌دار میان ۱٫۶ تا ۲ قرار می‌گیرد.

تلفات هسته دو سهم دارد: تلفات پسماند که با f متناسب است و تلفات جریان گردابی که با مربع f بالا می‌رود. به همین دلیل در بسامد بالا، جریان گردابی حرف اول را می‌زند و ورقه‌ورقه‌کردن هسته یا استفاده از فریت پرمقاومت اجتناب‌ناپذیر می‌شود.

یک مثال عددی کاملاً حل‌شده

هستهٔ یک ترانسفورماتور شبکه از فولاد سیلیسیم‌دار با حجم ۱٫۵ در ۱۰⁻³ متر مکعب ساخته شده و اندازه‌گیری نشان می‌دهد مساحت حلقهٔ پسماند در بیشینهٔ ۱٫۲ تسلا برابر ۶۰ ژول بر متر مکعب است. انرژی تلف‌شده در هر چرخه برابر است با ۶۰ ضربدر ۱٫۵ در ۱۰⁻³ که ۰٫۰۹۰ ژول می‌شود. در بسامد ۵۰ هرتز، این چرخه پنجاه بار در ثانیه تکرار می‌شود، پس توان تلفات ۰٫۰۹۰ ضربدر ۵۰ یعنی ۴٫۵ وات است. برای درک بهتر، جرم هسته را حساب کن: چگالی فولاد حدود ۷۶۵۰ کیلوگرم بر متر مکعب است و ۷۶۵۰ ضربدر ۱٫۵ در ۱۰⁻³ برابر ۱۱٫۵ کیلوگرم می‌شود؛ پس تلفات ویژه ۴٫۵ تقسیم بر ۱۱٫۵ یعنی حدود ۰٫۳۹ وات بر کیلوگرم است. حالا دو تغییر را بررسی کن. اگر همین ترانس را در شبکهٔ ۴۰۰ هرتزی هواپیما بگذاری، تلفات پسماند هشت برابر و برابر ۳۶ وات می‌شود. اما اگر با افزودن دور سیم‌پیچ، بیشینهٔ چگالی شار را از ۱٫۲ به ۰٫۶ تسلا نصف کنی، طبق رابطهٔ اشتاین‌متز با n برابر ۱٫۶، تلفات در ضریب ۰٫۵ به توان ۱٫۶ یعنی ۰٫۳۳۰ ضرب می‌شود و به ۱٫۵ وات کاهش می‌یابد.

چرا فریت برای بسامد بالا؟

فریت یک سرامیک اکسیدی است که مقاومت ویژه‌اش میلیون‌ها برابر فولاد است، پس جریان گردابی در آن عملاً راه نمی‌افتد. مساحت حلقهٔ پسماندش هم بسیار کوچک است. یک هستهٔ فریتی ۲۴ سانتی‌متر مکعبی، یعنی ۲٫۴ در ۱۰⁻⁵ متر مکعب، با مساحت حلقهٔ ۲٫۵ ژول بر متر مکعب در بسامد ۲۰ کیلوهرتز، تلفاتی برابر ۲٫۵ ضربدر ۲٫۴ در ۱۰⁻⁵ ضربدر ۲۰۰۰۰ یعنی ۱٫۲ وات دارد؛ معادل ۵۰ کیلووات بر متر مکعب. اگر همان هسته از فولاد با مساحت حلقهٔ ۶۰ بود، فقط سهم پسماند به ۲۸٫۸ وات می‌رسید و جریان گردابی هم روی آن سوار می‌شد.

کاربرد واقعی

همین محاسبه توضیح می‌دهد چرا شارژر گوشی‌ات این‌قدر کوچک است. ترانسفورماتور ۵۰ هرتزی برای همان توان باید هستهٔ بزرگی داشته باشد، اما منبع تغذیهٔ سوئیچینگ ابتدا برق را به ده‌ها کیلوهرتز می‌برد و سپس با هستهٔ فریتی کوچک آن را تبدیل می‌کند. در سوی دیگر، در نیروگاه‌ها برای ترانس‌های بزرگ از فولاد جهت‌دار و حتی آلیاژ آمورف استفاده می‌کنند، چون کاهش هر دهم وات بر کیلوگرم در ترانسی که بیست سال شبانه‌روز کار می‌کند، به صرفه‌جویی بزرگی می‌انجامد.