حرکت دایرهای و شعاع مسیر
چرا ذرهٔ باردار در میدان یکنواخت دایره میزند و چرا دورهٔ این چرخش به تندی ذره وابسته نیست.
در پایان این درس میتوانید
- رابطهٔ شعاع مسیر را از برابری نیروی لورنتس و نیروی مرکزگرا استخراج کنی.
- شعاع، دوره و بسامد سیکلوترونی یک ذره را حساب کنی.
- نشان دهی چرا دورهٔ چرخش مستقل از تندی و شعاع است.
- اثر تغییر سرعت، میدان و جرم را بر شعاع پیشبینی کنی.
- تکانهٔ ذره را از روی شعاع کمان مسیرش به دست آوری.
در عکسهای قدیمی اتاقک حباب، مسیر ذرات به شکل کمانها و مارپیچهای تمیزی دیده میشود. فیزیکدانان از روی انحنای همین کمانها، بار و تکانهٔ ذره را میخواندند؛ انگار میدان مغناطیسی هر ذره را وادار کرده باشد شناسنامهاش را روی فیلم بنویسد. در این درس میبینی چرا مسیر دقیقاً دایره است و آن دایره چه چیزی دربارهٔ ذره لو میدهد.
چرا مسیر دایره میشود؟
فرض کن ذرهای عمود بر میدان یکنواخت وارد شود. نیروی مغناطیسی همیشه بر سرعت عمود است، پس تندی ثابت میماند و بزرگی نیرو هم ثابت باقی میماند. نیرویی با بزرگی ثابت که همواره عمود بر سرعت است، دقیقاً همان تعریف نیروی مرکزگراست. پس ذره روی دایرهای با تندی ثابت میچرخد. حالا کافی است نیروی لورنتس را با نیروی مرکزگرا برابر بگذاری: q·v·B برابر m·v²/r میشود. با سادهکردن v از دو طرف، به رابطهٔ کلیدی میرسی: r = m·v/(q·B). ذرهٔ سنگینتر یا تندتر، دایرهٔ بازتری میزند؛ بار بیشتر یا میدان قویتر، دایره را تنگتر میکند.
دوره و بسامد سیکلوترونی
زمان یک دور کامل برابر محیط دایره تقسیم بر تندی است. اگر رابطهٔ شعاع را جایگذاری کنی، v بهطور کامل حذف میشود و میماند T = ۲πm/(q·B). این نتیجه شگفتانگیز است: دورهٔ چرخش به سرعت ذره و به شعاع مسیرش هیچ ربطی ندارد. ذرهٔ تند دایرهٔ بزرگتری میزند ولی چون تندتر هم هست، همان زمان را میبرد. وارون دوره را بسامد سیکلوترونی مینامیم: f = q·B/(۲πm). از رابطهٔ شعاع یک نتیجهٔ کاربردی دیگر هم بیرون میآید: اندازهٔ حرکت یا همان تکانهٔ ذره برابر q·B·r است، پس با اندازهگیری شعاع کمان روی عکس، تکانه مستقیماً به دست میآید.
استقلال دوره از سرعت، همان کشف کلیدی ارنست لارنس بود که ساخت سیکلوترون را ممکن کرد: چون ذره در هر دور زمان یکسانی میبرد، میتوان با یک ولتاژ متناوبِ با بسامد ثابت، در هر دور به آن انرژی داد.
مثال عددی کاملاً حلشده
یون هلیوم یکبار یونیده را در نظر بگیر: بارش برابر یک بار بنیادی یعنی ۱٫۶۰ × ۱۰−۱۹ کولن و جرمش ۴ واحد جرم اتمی یعنی ۴ ضربدر ۱٫۶۶ × ۱۰−۲۷ برابر ۶٫۶۴ × ۱۰−۲۷ کیلوگرم است. این یون با تندی ۲ × ۱۰۶ متر بر ثانیه عمود بر میدان ۰٫۵ تسلا وارد میشود. شعاع مسیر برابر است با حاصلضرب ۶٫۶۴ × ۱۰−۲۷ در ۲ × ۱۰۶ تقسیم بر حاصلضرب ۱٫۶۰ × ۱۰−۱۹ در ۰٫۵؛ صورت کسر ۱٫۳۳ × ۱۰−۲۰ و مخرج ۸٫۰۱ × ۱۰−۲۰ میشود، پس r تقریباً ۰٫۱۶۶ متر یعنی حدود ۱۶٫۶ سانتیمتر است. دورهٔ چرخش برابر ۲π ضربدر ۶٫۶۴ × ۱۰−۲۷ تقسیم بر ۸٫۰۱ × ۱۰−۲۰ یعنی ۵٫۲۱ × ۱۰−۷ ثانیه میشود که بسامدی برابر ۱٫۹۲ مگاهرتز میدهد. حالا دو آزمایش فکری انجام بده. اگر تندی را به ۴ × ۱۰۶ دو برابر کنی، شعاع به ۳۳٫۲ سانتیمتر میرسد ولی دوره همان ۵٫۲۱ × ۱۰−۷ ثانیه میماند. اما اگر بهجای آن میدان را به ۱ تسلا دو برابر کنی، هم شعاع به ۸٫۳ سانتیمتر نصف میشود و هم دوره به ۲٫۶۰ × ۱۰−۷ ثانیه نصف میشود.
کاربرد واقعی
در سیکلوترونهای بیمارستانی، پروتونها را روی مسیرهای دایرهای بزرگتر و بزرگتر شتاب میدهند تا رادیوداروی مورد نیاز تصویربرداری پت ساخته شود. در راکتورهای همجوشی از نوع توکامک، همین حرکت دایرهای است که پلاسمای چند میلیون درجهای را از دیوارهٔ محفظه دور نگه میدارد؛ ذرات بهجای برخورد با دیواره، دور خطوط میدان میپیچند. و در آشکارسازهای فیزیک ذرات، انحنای مسیر همچنان اصلیترین ابزار اندازهگیری تکانه است.
رابطههای کلیدی
مأموریت شبیهسازی
با یون هلیوم یکبار یونیده کار کن و رابطهٔ شعاع و دوره را با تغییر تکتک پارامترها بیازما.
- بار را ۱، سرعت را ۲۰۰۰۰۰۰، میدان را ۰٫۵ و جرم را ۴ بگذار؛ شعاع و دورهٔ چرخش را یادداشت کن.
- سرعت را به ۴۰۰۰۰۰۰ دو برابر کن و بررسی کن که شعاع دو برابر میشود ولی دوره تغییری نمیکند.
- سرعت را به ۲۰۰۰۰۰۰ برگردان و میدان را به ۱ تسلا ببر؛ ببین هم شعاع و هم دوره نصف میشوند.
- میدان را به ۰٫۵ برگردان و جرم را از ۴ به ۸ ببر؛ تأیید کن شعاع و دوره هر دو دو برابر میشوند.
- با نگهداشتن جرم ۴ و میدان ۰٫۵، سه سرعت متفاوت را بیازما و نشان بده بسامد سیکلوترونی ثابت میماند.
آزمون این درس
۵ پرسش چهارگزینهای. پس از ثبت، پاسخ درست و توضیح هر پرسش را میبینید. میتوانید هر چند بار که خواستید تلاش کنید؛ بهترین نمره در کارنامه ثبت میشود.