ولتاژ قطع و معادلهٔ اینشتین

تا اینجا گفتیم الکترون‌ها با انرژی جنبشیِ مشخصی بیرون می‌آیند، اما چطور می‌شود این انرژی را اندازه گرفت؟ نمی‌توانی به الکترون کرنومتر ببندی. ترفند آزمایشگاهی زیبا و ساده است: به‌جای کمک به الکترون‌ها، جلویشان را بگیر. اگر آند را نسبت به کاتد منفی کنی، هر الکترون باید در برابر یک تپهٔ الکتریکی بالا برود؛ ارتفاع تپه‌ای که تندترین الکترون را هم متوقف می‌کند، مقیاسی مستقیم از انرژی جنبشی اوست.

ولتاژ قطع چیست؟

ولتاژ معکوسی که در آن جریان دقیقاً به صفر می‌رسد، ولتاژ قطع نام دارد و آن را با V₀ نشان می‌دهیم. الکترونی که با انرژی جنبشی KE بیرون آمده، پس از عبور از اختلاف پتانسیل V₀ انرژی eV₀ از دست می‌دهد. پس شرط توقفِ تندترین الکترون این است: eV₀ = KE_max. زیبایی این رابطه در یکاست؛ اگر انرژی را بر حسب الکترون‌ولت بنویسی، عدد ولتاژ قطع بر حسب ولت دقیقاً با عدد انرژی جنبشی بر حسب الکترون‌ولت برابر می‌شود. توجه کن که اگر ولتاژ معکوس از V₀ کمتر باشد، الکترون‌های کندتر متوقف می‌شوند ولی تندترین‌ها هنوز می‌رسند و جریان کوچکی باقی می‌ماند.

معادلهٔ اینشتین و خط میلیکان

با کنار هم گذاشتن دو رابطه به معادلهٔ مشهور اینشتین می‌رسیم: hf = W + eV₀. اگر آن را برای V₀ حل کنی، به V₀ = (h/e)·f − W/e می‌رسی که معادلهٔ یک خط راست است: متغیر مستقل بسامد، شیب برابر h/e و عرض از مبدأ منفیِ W/e. رابرت میلیکان که سال‌ها به فرض فوتون بدبین بود، همین خط را با دقت بالا رسم کرد و بی‌آنکه بخواهد، درستی معادلهٔ اینشتین را ثابت کرد و ثابت پلانک را از یک آزمایش کاملاً الکتریکی بیرون کشید. نکتهٔ بسیار مهم این است که شیب این خط برای همهٔ فلزها یکسان است و فقط عرض از مبدأ عوض می‌شود؛ چون h یک ثابت جهانی است ولی W به ماده بستگی دارد.

اگر بسامد کمتر از f₀ باشد، معادلهٔ اینشتین عدد منفی برای V₀ می‌دهد. این عدد معنای فیزیکی ندارد و فقط یعنی گسیلی رخ نمی‌دهد؛ خط V₀ بر حسب f از f₀ به بعد شروع می‌شود.

مثال عددی کاملاً حل‌شده

کاتد مس با تابع کار ۴٫۷ الکترون‌ولت را با نور ۲۵۰ نانومتری و شدت ۹۰ درصد بتابان. انرژی فوتون برابر ۱۲۳۹٫۸۴ تقسیم بر ۲۵۰ یعنی ۴٫۹۶ الکترون‌ولت است، پس بیشینهٔ انرژی جنبشی ۴٫۹۶ منهای ۴٫۷ یعنی ۰٫۲۶ الکترون‌ولت و ولتاژ قطع ۰٫۲۶ ولت می‌شود. حالا طول موج را به ۲۰۰ نانومتر ببر: انرژی فوتون ۶٫۲۰ الکترون‌ولت و ولتاژ قطع ۱٫۵۰ ولت می‌شود. با این دو نقطه شیب خط را حساب کن. بسامد نور ۲۵۰ نانومتری برابر ۱٫۱۹۹ × ۱۰^۱۵ هرتز و بسامد نور ۲۰۰ نانومتری برابر ۱٫۴۹۹ × ۱۰^۱۵ هرتز است، پس اختلاف بسامد ۳٫۰۰ × ۱۰^۱۴ هرتز و اختلاف ولتاژ ۱٫۲۴ ولت خواهد بود. شیب برابر ۱٫۲۴ تقسیم بر ۳٫۰۰ × ۱۰^۱۴ یعنی ۴٫۱۴ × ۱۰^−۱۵ ولت‌ثانیه است. این شیب همان h/e است؛ کافی است در بار بنیادی ۱٫۶۰ × ۱۰^−۱۹ ضرب کنی تا ۶٫۶۳ × ۱۰^−۳۴ ژول‌ثانیه، یعنی ثابت پلانک، به دست آید. اگر شدت را از ۹۰ به ۴۵ درصد کم کنی، جریان از حدود ۱۰٫۸ به حدود ۵٫۴ میکروآمپر نصف می‌شود، ولی هر دو ولتاژ قطع دقیقاً سر جایشان می‌مانند.

کاربرد واقعی

روش «طیف‌سنجی فوتوالکترون پرتو ایکس» که در آزمایشگاه‌های مواد به آن XPS می‌گویند، دقیقاً همین معادله را وارونه به کار می‌برد: انرژی فوتون پرتو ایکس را می‌دانند، انرژی جنبشی الکترون‌های خروجی را اندازه می‌گیرند و از تفاضل آن‌ها انرژی بستگی الکترون‌ها را حساب می‌کنند. چون هر عنصر و هر حالت شیمیایی امضای انرژی بستگیِ خودش را دارد، این روش می‌تواند بگوید لایهٔ سطحی یک قطعه چه ترکیبی دارد و آیا اکسید شده است یا نه. همان معادلهٔ سادهٔ hf = W + eV₀ که در کلاس درس می‌بینی، ابزار روزمرهٔ صنعت نیم‌رسانا و پوشش‌دهی است.