گرانش و اینکه چرا ماه نمیافتد
میآموزیم نیروی گرانش از چه رابطهای پیروی میکند و چرا ماه با وجود کشش زمین هرگز روی سر ما نمیافتد.
در پایان این درس میتوانید
- رابطهٔ نیروی گرانش را بنویسی و بگویی چرا مجذور فاصله در مخرج آن است.
- توضیح دهی مدار در واقع یک سقوط بیپایان است که به زمین نمیرسد.
- سرعت لازم برای ماندن روی مدار دایرهای را از برابری گرانش با نیروی مرکزگرا به دست بیاوری.
- شتاب ماه به سمت زمین را با عدد حساب کنی و کوچکی آن را باور کنی.
- دورهٔ گردش و بیشترین سرعت را در شبیهساز بخوانی و با حساب کاغذی بسنجی.
میگویند ایزاک نیوتون در باغ نشسته بود که سیبی افتاد. پرسش او این نبود که چرا سیب افتاد؛ پرسش عجیبترش این بود: «پس چرا ماه نمیافتد؟» پاسخی که سرانجام پیدا کرد یکی از زیباترین جملههای تاریخ علم است: ماه هم میافتد. فقط چنان تند به پهلو میرود که زمین هر بار از زیر پایش کنار میرود.
هر دو جرم یکدیگر را میکشند
نیوتون نشان داد هر دو جسم جرمدار در جهان یکدیگر را میکشند. اندازهٔ این نیرو با حاصلضرب دو جرم زیاد میشود و با مجذور فاصلهٔ میانشان کم میشود؛ یعنی F = G·M·m / r۲. در این رابطه G ثابت گرانش جهانی است و برابر ۶٫۶۷ ضربدر ۱۰ به توان منفی ۱۱ در یکای متری. عبارت «مجذور فاصله» را جدی بگیر: اگر فاصله دو برابر شود نیرو یکچهارم و اگر سه برابر شود یکنهم میشود. گرانش هرگز صفر نمیشود، فقط خیلی زود کوچک میشود.
آزمایش فکری توپ نیوتون
کوهی بسیار بلند را تصور کن و توپی که از قلهٔ آن افقی شلیک میشود. با سرعت کم، توپ چند صد متر آنسوتر به زمین میخورد. سرعت را بیشتر کن؛ محل برخورد دورتر میرود. حالا سرعت را آنقدر بالا ببر که خمیدگی مسیر سقوط توپ درست به اندازهٔ خمیدگی سطح زمین شود. از این لحظه توپ همچنان میافتد، اما زمین هم به همان اندازه از زیرش خم میشود و برخوردی رخ نمیدهد. این همان مدار است: سقوطی که هرگز به مقصد نمیرسد.
سرعت لازم برای مدار دایرهای
برای اینکه جسمی روی دایره بچرخد، نیروی خالص باید همیشه رو به مرکز باشد و اندازهاش m·v۲/r شود. اگر تنها نیروی موجود گرانش باشد، این دو را برابر میگذاریم و v = √(G·M/r) به دست میآید. دو نکتهٔ مهم در همین رابطه پنهان است. نخست اینکه جرم خود سیاره در آن نیست؛ سنگ کوچک و فضاپیمای بزرگ روی یک مدار سرعت یکسان دارند. دوم اینکه هرچه از ستاره دورتر شوی، سرعت لازم کمتر است.
یک مثال عددی کاملاً حلشده
ماه را حساب کنیم. جرم زمین ۵٫۹۷ ضربدر ۱۰ به توان ۲۴ کیلوگرم، جرم ماه ۷٫۳۵ ضربدر ۱۰ به توان ۲۲ کیلوگرم و فاصلهٔ میانشان ۳٫۸۴ ضربدر ۱۰ به توان ۸ متر است.
- ثابت گرانش ضربدر جرم زمین: ۶٫۶۷ در ۱۰ به توان منفی ۱۱، ضربدر ۵٫۹۷ در ۱۰ به توان ۲۴، برابر ۳٫۹۸ در ۱۰ به توان ۱۴ میشود.
- مجذور فاصله: ۳٫۸۴ در ۱۰ به توان ۸، به توان دو، برابر ۱٫۴۷ در ۱۰ به توان ۱۷ است.
- شتاب ماه به سمت زمین: ۳٫۹۸ در ۱۰ به توان ۱۴ تقسیم بر ۱٫۴۷ در ۱۰ به توان ۱۷، یعنی ۰٫۰۰۲۷ متر بر مجذور ثانیه.
- نیروی گرانش: همین شتاب ضربدر جرم ماه، نزدیک ۲ ضربدر ۱۰ به توان ۲۰ نیوتن — عددی هولانگیز.
- ماه در هر ثانیه چقدر میافتد؟ نصف شتاب ضربدر مجذور زمان، یعنی حدود ۱٫۴ میلیمتر؛ در حالی که در همان ثانیه بیش از یک کیلومتر به پهلو رفته است.
همین یک میلیمتر و اندی سقوط در هر ثانیه، دقیقاً همان مقداری است که مسیر مستقیم ماه را به دایره خم میکند. نه بیشتر، نه کمتر — و ماه چهار میلیارد سال است همین کار را میکند.
کاربرد در دنیای واقعی
ماهوارهٔ هواشناسی که هر روز تصویر ابرها را میفرستد، در ارتفاع ۳۵٬۷۸۶ کیلومتری روی همین قاعده میچرخد؛ دورهٔ گردشش دقیقاً ۲۴ ساعت است، پس همیشه بالای یک نقطه از زمین میماند. مسیریاب گوشیات از ماهوارههایی سیگنال میگیرد که مهندسان سرعتشان را با همین رابطه انتخاب کردهاند. کمی خطا در سرعت پرتاب یعنی مداری بیضی، سوخت هدررفته و مأموریتی که از دست میرود.
رابطههای کلیدی
مأموریت شبیهسازی
سیارهای بساز که دور ستاره روی دایره بگردد و ببین سقوط بیپایان یعنی چه.
- جرم ستاره را روی ۱ برابر خورشید، فاصلهٔ اولیه را روی ۱۵۰ میلیون کیلومتر، سرعت اولیه را روی ۱ و زاویهٔ پرتاب را روی ۹۰ درجه بگذار و بگذار سیاره یک دور کامل بزند.
- شکل مدار، دورهٔ گردش و بیشترین سرعت را یادداشت کن؛ باید «دایرهای»، نزدیک ۳۶۷ روز و نزدیک ۲۹٫۷ کیلومتر بر ثانیه باشند — یعنی تقریباً همان مدار زمین.
- فاصلهٔ اولیه را به ۶۰ میلیون کیلومتر بیاور و ببین سرعت لازم برای دایرهماندن تا نزدیک ۴۷ کیلومتر بر ثانیه بالا میرود و دوره به حدود ۹۳ روز میافتد.
- فاصله را به ۱۵۰ برگردان و جرم ستاره را روی ۴ برابر خورشید بگذار؛ بیشترین سرعت را با حاصل ۲۹٫۷ ضربدر ۲ بسنج.
- جرم ستاره را به ۱ برگردان و زاویهٔ پرتاب را روی ۴۵ درجه ببر؛ ببین دورهٔ گردش همان ۳۶۷ روز میماند اما خروج از مرکز از صفر به حدود ۰٫۷۱ میرسد.
آزمون این درس
۵ پرسش چهارگزینهای. پس از ثبت، پاسخ درست و توضیح هر پرسش را میبینید. میتوانید هر چند بار که خواستید تلاش کنید؛ بهترین نمره در کارنامه ثبت میشود.