مدار دایرهای، بیضی و سرعت فرار
میبینیم چگونه فقط یک عدد — سرعت اولیه — سرنوشت مدار را میان دایره، بیضی و فرار همیشگی تعیین میکند.
در پایان این درس میتوانید
- انرژی کل یک جسم در میدان گرانش را بنویسی و از علامت آن بسته یا آزاد بودن مدار را تشخیص دهی.
- معنای خروج از مرکز را بگویی و چهار شکل مدار را از روی آن بشناسی.
- رابطهٔ سرعت فرار با سرعت مدار دایرهای را ثابت کنی و ضریب ریشهٔ دو را توضیح دهی.
- سرعت فرار از سطح زمین را با عدد حساب کنی.
- در شبیهساز سرعت اولیه را پلهپله بالا ببری و لحظهٔ گذر از بیضی به فرار را ببینی.
دو فضاپیما را در یک نقطه، در یک جهت و با یک ستاره رها میکنیم. تنها تفاوتشان یک عدد است: سرعت اولیه. اولی بیضی کوتاهی میکشد و برمیگردد، دومی بیضی بازتری میکشد، و اگر سرعت سومی را فقط اندکی بالاتر ببریم برای همیشه میرود و هرگز بازنمیگردد. یک عدد، سه سرنوشت.
انرژی، داور نهایی
هر جسمی در میدان گرانش دو سهم انرژی دارد: انرژی جنبشی که همیشه مثبت است، و انرژی پتانسیل گرانشی که آن را منفی میگیریم و در فاصلهٔ بینهایت صفر میشود. مجموع این دو، انرژی کل است. اگر انرژی کل منفی باشد جسم به ستاره بسته است و روی مداری بسته میماند. اگر صفر باشد دقیقاً روی مرز فرار است و اگر مثبت باشد میگریزد و دیگر برنمیگردد. تمام تفاوت میان یک سیارهٔ همیشگی و یک دنبالهدار گذری در علامت همین عدد است.
خروج از مرکز، عددی که شکل را میگوید
شکل مدار را با کمیتی بییکا به نام خروج از مرکز میسنجیم و با e نشان میدهیم. اگر e برابر صفر باشد مدار دایره است. میان صفر و یک، بیضی است و هرچه به یک نزدیکتر شود بیضی کشیدهتر میشود. e برابر یک یعنی سهمی و بزرگتر از یک یعنی هذلولی؛ هر دو مسیرهای باز و یکبارمصرفاند. نکتهٔ خوشدست این است که اگر جسم را عمود بر خط ستاره پرتاب کنی و سرعتش k برابر سرعت دایرهای باشد، خروج از مرکز دقیقاً برابر قدرمطلق k۲ منهای یک میشود.
سرعت فرار
برای گریختن، انرژی جنبشی باید دستکم اندازهٔ قدرمطلق انرژی پتانسیل باشد. از همین شرط رابطهٔ v = √(2·G·M / r) بیرون میآید. اگر آن را با سرعت مدار دایرهای در همان فاصله مقایسه کنی میبینی سرعت فرار همیشه ریشهٔ دو برابر یعنی حدود ۱٫۴۱۴ برابر سرعت دایرهای است — بیآنکه به جرم جسم فراری کاری داشته باشد.
یک مثال عددی کاملاً حلشده
سرعت فرار از سطح زمین چقدر است؟ شعاع زمین ۶٫۳۷ ضربدر ۱۰ به توان ۶ متر و حاصلضرب ثابت گرانش در جرم زمین ۳٫۹۸ ضربدر ۱۰ به توان ۱۴ است.
- صورت کسر: دو برابر ۳٫۹۸ در ۱۰ به توان ۱۴ برابر ۷٫۹۶ در ۱۰ به توان ۱۴ میشود.
- تقسیم بر شعاع: ۷٫۹۶ در ۱۰ به توان ۱۴ تقسیم بر ۶٫۳۷ در ۱۰ به توان ۶، برابر ۱٫۲۵ در ۱۰ به توان ۸.
- ریشهٔ دوم این عدد: نزدیک ۱۱٬۲۰۰ متر بر ثانیه، یعنی ۱۱٫۲ کیلومتر بر ثانیه.
- سرعت مدار دایرهای نزدیک سطح: همین عدد تقسیم بر ۱٫۴۱۴، یعنی حدود ۷٫۹ کیلومتر بر ثانیه.
- پس موشکی که به ۷٫۹ برسد دور زمین میچرخد و همان موشک با ۱۱٫۲ کیلومتر بر ثانیه زمین را برای همیشه ترک میکند.
تفاوت ماندن و رفتن تنها چهل درصد سرعت بیشتر است. برای همین مهندسان پرتاب، سرعت را تا کسری از متر بر ثانیه کنترل میکنند.
کاربرد در دنیای واقعی
دنبالهدار هالی روی بیضی بسیار کشیدهای میگردد و هر ۷۶ سال یک بار بازمیگردد؛ دنبالهدارهای دیگری که خروج از مرکزشان از یک گذشته، فقط یک بار دیده میشوند و برای همیشه میروند. کاوشگرهایی که به بیرون منظومهٔ شمسی فرستاده شدهاند با کمک گرفتن از گرانش سیارههای بزرگ، انرژی کلشان را مثبت کردهاند و امروز روی مسیر هذلولی از خورشید دور میشوند.
رابطههای کلیدی
مأموریت شبیهسازی
سرعت اولیه را پلهپله بالا ببر و ببین مدار از دایره به بیضی و سپس به فرار میرسد.
- جرم ستاره را روی ۱ برابر خورشید، فاصلهٔ اولیه را روی ۱۵۰ میلیون کیلومتر و زاویهٔ پرتاب را روی ۹۰ درجه ثابت نگه دار؛ در همهٔ گامهای بعدی فقط سرعت اولیه را عوض کن.
- سرعت اولیه را روی ۱ بگذار: شکل مدار «دایرهای» و خروج از مرکز صفر است.
- سرعت اولیه را به ۰٫۸ کم کن؛ شکل «بیضی» میشود و خروج از مرکز نزدیک ۰٫۳۶ میرسد. با رابطهٔ قدرمطلق مجذور ۰٫۸ منهای یک بسنج.
- سرعت اولیه را روی ۱٫۲ بگذار؛ باز هم «بیضی» است اما این بار خروج از مرکز نزدیک ۰٫۴۴ و دورهٔ گردش نزدیک ۸۷۵ روز میشود.
- سرعت اولیه را به ۱٫۴ و سپس ۱٫۴۵ ببر و لحظهٔ گذر را ببین: در ۱٫۴ هنوز بیضی کشیده است، اما در ۱٫۴۵ شکل مدار «فرار» میشود، چون از ۱٫۴۱۴ گذشتهای.
آزمون این درس
۵ پرسش چهارگزینهای. پس از ثبت، پاسخ درست و توضیح هر پرسش را میبینید. میتوانید هر چند بار که خواستید تلاش کنید؛ بهترین نمره در کارنامه ثبت میشود.