قانون سوم کپلر: رابطهٔ دوره با فاصله

یوهانس کپلر بیست سال از عمرش را صرف داده‌های رصدی تیکو براهه کرد تا سرانجام در سال ۱۶۱۹ به جمله‌ای رسید که خودش آن را «هماهنگی جهان» نامید: مجذور دورهٔ گردش هر سیاره با مکعب نیم‌قطر بزرگ مدارش متناسب است. کپلر دلیلش را نمی‌دانست؛ هفتاد سال بعد نیوتون نشان داد این جمله چیزی جز نتیجهٔ مستقیم گرانش نیست.

از گرانش تا قانون کپلر

برای مدار دایره‌ای، نیروی گرانش همان نیروی مرکزگراست، پس G·M·m/r^۲ با m·v^۲/r برابر می‌شود. جرم سیاره از دو طرف حذف می‌شود. حالا سرعت را با طول مسیر تقسیم بر زمان جایگزین کن، یعنی v = ۲πr/T. با کمی مرتب‌کردن به این رابطه می‌رسیم: T^۲ = ۴π^۲r^۳ / (G·M). سمت چپ فقط به سیاره مربوط است و سمت راست جز r به هیچ ویژگی سیاره وابسته نیست.

پس برای همهٔ سیاره‌های یک ستاره، نسبت T^۲ به r^۳ یک عدد ثابت است که تنها به جرم ستاره بستگی دارد. کپلر همین را از داده‌ها بیرون کشیده بود، بی‌آنکه بداند در مخرجش جرم خورشید نشسته است.

یکای هوشمندانه

اگر فاصله را بر حسب واحد نجومی (فاصلهٔ زمین تا خورشید) و زمان را بر حسب سال زمینی بنویسی و ستاره هم‌جرم خورشید باشد، آن ثابت برابر یک می‌شود و رابطه به شکل ساده و به‌یادماندنی T^۲ = a^۳ درمی‌آید.

یک مثال عددی کاملاً حل‌شده

سیاره‌ای در فاصلهٔ ۲۴۰ میلیون کیلومتر دور ستاره‌ای هم‌جرم خورشید می‌گردد. دورهٔ گردشش چند روز است؟

1. فاصله را به واحد نجومی ببر: ۲۴۰ تقسیم بر ۱۴۹٫۶ برابر ۱٫۶۰ واحد نجومی می‌شود.
2. مکعب آن را بگیر: ۱٫۶۰ به توان سه برابر ۴٫۱۰ است.
3. ریشهٔ دوم بگیر تا دوره بر حسب سال به دست آید: ریشهٔ دوم ۴٫۱۰ برابر ۲٫۰۲ سال.
4. به روز تبدیل کن: ۲٫۰۲ ضرب‌در ۳۶۵٫۲۵ برابر حدود ۷۴۲ روز.
5. سنجش با مدار زمین: نسبت فاصله‌ها ۲۴۰ بر ۱۵۰ یعنی ۱٫۶؛ و ۱٫۶ به توان یک‌ونیم برابر ۲٫۰۲ است. ۳۶۷ ضرب‌در ۲٫۰۲ همان ۷۴۲ روز می‌شود.

میان‌بُر مفید: هر بار فاصله چهار برابر شود، دوره هشت برابر می‌شود؛ چون چهار به توان یک‌ونیم برابر هشت است.

وقتی جرم ستاره عوض می‌شود

در رابطهٔ T^۲ = ۴π^۲r^۳/(G·M)، جرم ستاره در مخرج است. پس اگر جرم ستاره چهار برابر شود و فاصله ثابت بماند، مجذور دوره یک‌چهارم و خود دوره نصف می‌شود. به بیان کوتاه: دوره با ریشهٔ دوم جرم ستاره نسبت وارون دارد.

کاربرد در دنیای واقعی

اخترشناسان همین رابطه را وارونه به کار می‌برند: دوره و فاصلهٔ یک قمر یا یک ستارهٔ همدم را اندازه می‌گیرند و از آن جرم جسم مرکزی را بیرون می‌کشند. جرم خورشید، جرم مشتری و حتی جرم سیاهچالهٔ مرکز کهکشان ما به همین شیوه سنجیده شده‌اند. برای سیاره‌های فراخورشیدی هم نخستین چیزی که از یک گذر پیدا می‌شود دوره است و از دل آن فاصله و سپس دمای احتمالی سطح بیرون می‌آید.