موج ایستاده و هارمونیک سازها
میبینیم برخورد موج رفت و برگشت روی ریسمان چگونه گره و شکم میسازد و چرا هر ساز زنجیرهای از هارمونیکها دارد.
در پایان این درس میتوانید
- پیدایش موج ایستاده را با برهمنهی موج رفت و برگشت توضیح دهی.
- گره و شکم را روی ریسمان بشناسی و تعدادشان را در هر هارمونیک بشماری.
- سرعت موج روی ریسمان را از کشش و جرم خطی حساب کنی.
- بسامد هارمونیک n را از رابطهٔ طول و سرعت به دست بیاوری.
- پیشبینی کنی تغییر کشش، طول یا ضخامت سیم بسامد را چگونه جابهجا میکند.
انگشتت را دقیقاً روی وسط سیم گیتار بگذار و همان سیم را بزن. صدا یک اکتاو بالاتر میرود، درست دو برابر بسامد پیشین. عجیب است که نصف کردن یک طول، بسامد را نه کمی، که دقیقاً دو برابر کند. راز این تناسب دقیق در پدیدهای است به نام موج ایستاده.
موجی که به جایی نمیرود
وقتی سیم کشیدهای را میزنی، موجی به سمت تکیهگاه میرود، از آنجا بازمیگردد و با موج تازهای که هنوز در راه است روی هم میافتد. حاصل این برهمنهی الگویی است که دیگر به چپ یا راست پیش نمیرود؛ فقط سرِ جای خودش بالا و پایین میشود. به آن موج ایستاده میگویند. در این الگو نقطههایی هستند که هیچگاه تکان نمیخورند؛ نامشان گره است. میان هر دو گره نقطهای هست که بیشترین نوسان را دارد و آن را شکم مینامیم.
دو سرِ ریسمان به تکیهگاه بستهاند، پس ناچار گرهاند. همین شرط ساده اجازه نمیدهد هر بسامدی روی سیم بنشیند: تنها الگوهایی میمانند که طول ریسمان مضرب درستی از نیم طول موج باشد. اگر شمارهٔ هارمونیک را n بنویسیم، طول موج از رابطهٔ λ = ۲L ÷ n به دست میآید. هارمونیک یکم که نامش بنیادی است یک شکم دارد و دو گره؛ هارمونیک n اُم، n شکم و n+۱ گره دارد.
سرعت موج روی ریسمان
سرعت موج روی سیم به دو چیز بستگی دارد: کشش که سیم را به حالت اولش برمیگرداند و جرم خطی یعنی جرم هر متر از سیم که در برابر شتاب گرفتن مقاومت میکند. رابطهٔ آن v = √(T ÷ μ) است. حالا اگر این سرعت را در رابطهٔ بالا بگذاریم، بسامد هر هارمونیک چنین میشود: f = n·v ÷ (۲L). سه نتیجهٔ عملی از همین یک رابطه بیرون میآید: سیم کوتاهتر بسامد بالاتری میدهد، پیچ کوک که کشش را زیاد کند بسامد را بالا میبرد، و سیم ضخیمتر که جرم خطی بیشتری دارد بمتر میخواند.
دقت کن که بسامد با ریشهٔ دوم کشش بالا میرود، نه با خود کشش. برای دو برابر کردن بسامد باید کشش را چهار برابر کنی؛ به همین دلیل کوک کردن ساز با یک چرخش کوچکِ پیچ ظریفتر از آن است که به نظر میرسد.
یک مثال عددی کاملاً حلشده
ریسمانی به طول ۱ متر با کشش ۴۰ نیوتن بسته شده و جرم خطی آن ۴ گرم بر متر است. بسامد هارمونیک سوم چقدر است؟
- جرم خطی را به یکای اصلی میبریم: ۴ گرم بر متر برابر ۰٫۰۰۴ کیلوگرم بر متر.
- سرعت: v = √(۴۰ ÷ ۰٫۰۰۴) = √۱۰۰۰۰ برابر ۱۰۰ متر بر ثانیه.
- بسامد بنیادی: ۱۰۰ ÷ (۲ ضربدر ۱) برابر ۵۰ هرتز.
- هارمونیک سوم سه برابر بنیادی است: ۱۵۰ هرتز.
- طول موج این هارمونیک: ۲ ÷ ۳ یعنی ۰٫۶۷ متر، و تعداد گرهها ۳+۱ برابر ۴ است.
همین چهار عدد را شبیهساز با همان تنظیمات نشان میدهد و گرهها را روی ریسمان علامت میزند تا بتوانی بشماری.
کاربرد در دنیای واقعی
هر سازِ زهی روی همین رابطه ساخته شده است: سیمهای بم پیانو هم بلندترند و هم سنگینتر، و نوازندهٔ ویولن با گذاشتن انگشت روی دستهٔ ساز طول مؤثر سیم را کوتاه میکند. در لولهٔ فلوت و ارگ هم همین الگو با ستون هوا تکرار میشود. مهندس عمران نیز باید بداند بسامد طبیعی پل چقدر است، چون اگر باد یا گام هماهنگ رهگذران با همان بسامد به پل انرژی بدهد، دامنهٔ نوسان بالا میرود و سازه به خطر میافتد.
رابطههای کلیدی
مأموریت شبیهسازی
ریسمان کشیده را با شمارههای گوناگون هارمونیک بلرزان و گرهها و شکمهای ثابت را بشمار.
- شمارهٔ هارمونیک را روی ۳، طول ریسمان را روی ۱ متر، کشش را روی ۴۰ نیوتن و جرم خطی را روی ۴ گرم بر متر بگذار و چهار خروجی را یادداشت کن.
- حاصل ریشهٔ دوم ۴۰ تقسیم بر ۰٫۰۰۴ را روی کاغذ حساب کن و ببین همان سرعت موج شبیهساز درمیآید.
- شمارهٔ هارمونیک را روی ۱ بگذار، بسامد بنیادی را بخوان و بررسی کن که عدد پیشین دقیقاً سه برابر آن بود.
- کشش را به ۱۶۰ نیوتن ببر و ببین بسامد دو برابر میشود، نه چهار برابر.
- کشش را به ۴۰ برگردان و جرم خطی را به ۱۶ گرم بر متر ببر تا ببینی سیم ضخیمتر بسامد را نصف میکند.
آزمون این درس
۵ پرسش چهارگزینهای. پس از ثبت، پاسخ درست و توضیح هر پرسش را میبینید. میتوانید هر چند بار که خواستید تلاش کنید؛ بهترین نمره در کارنامه ثبت میشود.