معادلهٔ خط: شیب و عرض از مبدأ
میبینیم دو عدد شیب و عرض از مبدأ چگونه یک خط کامل میسازند و چطور از روی معادله، مقدار y و ریشه را حساب میکنیم.
در پایان این درس میتوانید
- معنای شیب را با «یک واحد به راست، چند واحد بالا» بیان کنی.
- عرض از مبدأ را از روی معادله و از روی نمودار پیدا کنی.
- مقدار y را در یک نقطهٔ دلخواه از معادلهٔ خط حساب کنی.
- ریشهٔ خط را از رابطهٔ شیب و عرض از مبدأ به دست بیاوری.
- عددهای پانل شبیهساز را با محاسبهٔ روی کاغذ بسنجی.
سطح شیبداری را تصور کنید که کارگرها برای بالا بردن بار روی پلهها گذاشتهاند. اگر یک قدم به جلو بروید، چند سانتیمتر بالاتر رفتهاید؟ همین یک عدد، تمام «تندی» شیب را میگوید. در ریاضی به این عدد شیب میگوییم و با m نشانش میدهیم. شیب بهتنهایی خط نمیسازد؛ باید بدانیم خط از کجا شروع شده است. آن عدد دوم عرض از مبدأ است و با b نشانش میدهیم.
دو عدد، یک خط
هر خط راست غیرعمودی را میتوان با رابطهٔ y = m·x + b نوشت. در این رابطه x را خودتان انتخاب میکنید و y همان چیزی است که خط جواب میدهد. اگر x را صفر بگذارید، حاصلضرب اول صفر میشود و y برابر b درمیآید. یعنی b دقیقاً همان نقطهای است که خط محور عمودی را در آن قطع میکند. برای همین میگویند خط از b «شروع» میشود.
حالا x را یک واحد جلو ببرید. مقدار y به اندازهٔ m تغییر میکند. اگر m برابر ۲ باشد، هر یک واحد به راست، دو واحد بالا میآورد. اگر m منفی باشد، همان یک واحد به راست، پایین رفتن میسازد و خط سرازیر میشود. اگر m صفر باشد، خط افقی است و هرچه به راست بروید ارتفاع عوض نمیشود.
شبیهساز مثلث شیب را همیشه میکشد: ضلع افقی به اندازهٔ یک واحد و ضلع عمودی به اندازهٔ m. این مثلث، شیب را از یک عدد خشک به یک تصویر تبدیل میکند.
ریشه: کجا خط به زمین میرسد
ریشه نقطهای است که خط محور افقی را قطع میکند، یعنی جایی که y صفر میشود. اگر در رابطه y را صفر بگذاریم، میماند ۰ = m·x + b و از آن x = −b/m به دست میآید. خط افقی با شیب صفر اصلاً ریشه ندارد، چون هرگز به محور نمیرسد یا کاملاً روی آن میخوابد؛ پانل شبیهساز در این حالت بهجای عدد مینویسد «ندارد».
یک مثال عددی کاملاً حلشده
خطی با شیب ۲ و عرض از مبدأ ۳− را در نظر بگیرید.
- معادله: y = ۲x − ۳.
- عرض از مبدأ ۳− است، پس خط محور عمودی را در ۳− قطع میکند.
- مقدار y در نقطهٔ ۴: حاصل ۲ ضربدر ۴ منهای ۳، یعنی ۵.
- ریشه: ۳ تقسیم بر ۲ برابر ۱٫۵؛ خط در ۱٫۵ به محور افقی میرسد.
- زاویه با محور افقی: زاویهای که تانژانتش ۲ باشد، یعنی نزدیک ۶۳٫۴ درجه.
حالا همین اعداد را روی شبیهساز بگذارید. پانل باید معادله را همانطور بنویسد، مقدار y را ۵، ریشه را ۱٫۵ و زاویه را ۶۳٫۴ درجه نشان دهد. اگر عددی نخواند، یکی از تنظیمها را اشتباه گذاشتهاید.
کاربرد در دنیای واقعی
کرایهٔ تاکسی اینترنتی یک بخش ثابت دارد و یک بخش که با مسافت زیاد میشود؛ بخش ثابت همان عرض از مبدأ است و نرخ هر کیلومتر همان شیب. قبض موبایل، اجارهٔ روزانهٔ خودرو و حتی هزینهٔ چاپ در چاپخانه از همین الگو پیروی میکنند. مهندس ساختمان هم برای رمپ ویلچر شیب استاندارد ۱ به ۱۲ را به کار میبرد: هر ۱۲ واحد جلو، فقط ۱ واحد بالا. شیب تندتر یعنی رمپی که کسی نمیتواند از آن بالا برود.
رابطههای کلیدی
مأموریت شبیهسازی
شیب و عرض از مبدأ را عوض کن و ببین خط چطور میچرخد و بالا و پایین میرود.
- شیب را روی ۲، عرض از مبدأ را روی ۳− و نقطهٔ پرسش را روی ۴ بگذار و هر چهار عدد پانل را یادداشت کن.
- مقدار y را با محاسبهٔ ۲ ضربدر ۴ منهای ۳ روی کاغذ بسنج.
- عرض از مبدأ را روی ۰ بگذار و ببین خط از مرکز محورها میگذرد و ریشه هم صفر میشود.
- شیب را از ۲ به ۴ ببر و ببین مثلث شیب بلندتر و زاویه بزرگتر میشود.
- شیب را روی ۲− بگذار و بگو خط سربالا شد یا سرازیر و علامت زاویه چه شد.
آزمون این درس
۵ پرسش چهارگزینهای. پس از ثبت، پاسخ درست و توضیح هر پرسش را میبینید. میتوانید هر چند بار که خواستید تلاش کنید؛ بهترین نمره در کارنامه ثبت میشود.