احتمال، میانگین و منحنی زنگولهای
با تختهٔ گالتون میبینیم چگونه صدها انتخاب تصادفی، یک شکل کاملاً قابل پیشبینی میسازند و میانگین و انحراف معیار از کجا میآیند.
در پایان این درس میتوانید
- هر برخورد گلوله با میخ را یک آزمایش دوحالته با احتمال ثابت ببینی.
- میانگین نظری توزیع را از حاصلضرب تعداد ردیف در احتمال به دست بیاوری.
- انحراف معیار را از رابطهٔ توزیع دوجملهای حساب کنی.
- توضیح دهی چرا با زیاد شدن گلولهها هیستوگرام به منحنی نظری نزدیک میشود.
- اثر تغییر احتمال انحراف را روی جای قله و پهنای توزیع پیشبینی کنی.
یک گلوله را از بالای تخته رها میکنید. در هر میخ یا به راست میرود یا به چپ و هیچکس نمیتواند بگوید کدام. مسیر این گلوله کاملاً تصادفی است. حالا هزار گلوله بریزید: شکلی که در ستونها پیدا میشود هر بار تقریباً یکی است، آنقدر تکرارپذیر که میشود پیش از ریختن، آن را روی کاغذ کشید. این تناقض ظاهری، قلب آمار است.
هر میخ یک آزمایش دوحالته
گلوله در هر ردیف یک انتخاب دارد: راست با احتمالی ثابت، چپ با باقیماندهٔ آن. اگر تخته n ردیف داشته باشد، گلوله n انتخاب پشت سر هم انجام میدهد و شمارهٔ ستونی که در آن میافتد دقیقاً برابر تعداد انحرافهای به راست است. پس ستون شماره ۰ یعنی همیشه چپ و ستون شمارهٔ n یعنی همیشه راست. تعداد ستونها یکی بیشتر از ردیفهاست.
شمار مسیرهایی که به یک ستون میرسند با ضریبهای دوجملهای شمرده میشود. ستونهای میانی مسیرهای بسیار بیشتری دارند و همین است که قله را در وسط میسازد. توزیعی که از این شمارش بیرون میآید توزیع دوجملهای نام دارد.
دو عدد که کل توزیع را خلاصه میکنند
میانگین این توزیع برابر حاصلضرب تعداد ردیف در احتمال انحراف به راست است؛ همان جایی که قله میایستد. پراکندگی را با انحراف معیار میسنجیم که از ریشهٔ دوم حاصلضرب تعداد ردیف، احتمال راست و احتمال چپ به دست میآید. انحراف معیار کوچک یعنی توزیع باریک و قلهای تیز، و انحراف معیار بزرگ یعنی گلولهها روی ستونهای بیشتری پخش شدهاند.
با زیاد شدن تعداد ردیف، توزیع دوجملهای به منحنی نرمال نزدیک میشود. خطچین زردی که روی هیستوگرام کشیده شده همین منحنی نظری است و پیش از ریختن حتی یک گلوله هم رسم میشود.
یک مثال عددی کاملاً حلشده
تختهای با ۱۲ ردیف و احتمال انحراف به راست ۰٫۵ را در نظر بگیرید.
- میانگین: ۱۲ ضربدر ۰٫۵ برابر ۶؛ قله روی ستون ۶ مینشیند.
- انحراف معیار: ریشهٔ دوم حاصلضرب ۱۲ و ۰٫۵ و ۰٫۵، یعنی ریشهٔ ۳ و نزدیک ۱٫۷۳.
- بازهٔ یک انحراف معیار حدود ۴٫۳ تا ۷٫۷ است و نزدیک ۶۸ درصد گلولهها در آن میافتند.
- با ۴۰۰ گلوله یعنی حدود ۲۷۲ گلوله در همین چند ستون میانی.
- اگر احتمال را به ۰٫۷۵ ببرید، میانگین به ۹ میرود و انحراف معیار به ۱٫۵ کاهش مییابد: قله جابهجا و توزیع باریکتر میشود.
چرا شکل تکرار میشود
هر گلوله بهتنهایی پیشبینیناپذیر است، ولی سهم نوسان تصادفی در شمارش هر ستون با زیاد شدن گلولهها کمرنگ میشود. این همان قانون اعداد بزرگ است. با ۱۰ گلوله هیستوگرام ناهموار و شکسته است؛ با ۶۰۰ گلوله چنان به منحنی نظری میچسبد که تفاوتشان به چشم نمیآید. توجه کنید که با زیاد شدن گلولهها میانگین و انحراف معیار توزیع عوض نمیشوند؛ فقط تخمین ما از آنها دقیقتر میشود.
کاربرد در دنیای واقعی
خطای اندازهگیری در آزمایشگاه، پراکندگی قد افراد یک جامعه، نمرهٔ داوطلبان یک آزمون سراسری و حتی نوسان روزانهٔ قیمتها همگی شکلی زنگولهای دارند، چون هرکدام جمع دهها اثر کوچک و مستقلاند. کارخانه از همین حساب برای کنترل کیفیت استفاده میکند و مؤسسهٔ نظرسنجی «حاشیهٔ خطا» را از همین انحراف معیار بیرون میکشد.
رابطههای کلیدی
مأموریت شبیهسازی
صدها گلوله را از میان میخها بریز و ببین هیستوگرام چگونه روی منحنی نظری مینشیند.
- تعداد ردیف را روی ۱۲، تعداد گلوله را روی ۴۰۰ و احتمال انحراف به راست را روی ۰٫۵ بگذار و میانگین و انحراف معیار پانل را یادداشت کن.
- همان دو عدد را روی کاغذ بسنج: ۱۲ ضربدر ۰٫۵ برای میانگین و ریشهٔ دوم ۳ برای پراکندگی.
- تعداد گلوله را به ۱۰ کاهش بده و ناهمواری هیستوگرام را ببین، بعد آن را به ۶۰۰ برسان.
- احتمال انحراف به راست را روی ۰٫۷۵ بگذار و ببین قله به حوالی ستون ۹ میرود و پراکندگی به ۱٫۵ نزدیک میشود — ستونهای ۹ و ۱۰ نزدیک به هماند و هر بار ممکن است یکی بالاتر بیفتد.
- تعداد ردیف را روی ۴ بیاور و بگو چرا با ستونهای کم، منحنی نظری زمخت و پلهای دیده میشود.
آزمون این درس
۵ پرسش چهارگزینهای. پس از ثبت، پاسخ درست و توضیح هر پرسش را میبینید. میتوانید هر چند بار که خواستید تلاش کنید؛ بهترین نمره در کارنامه ثبت میشود.