فنر و قانون هوک
رابطهٔ خطی نیروی فنر با تغییر طول را میسنجیم و معنای ثابت فنر را روشن میکنیم.
در پایان این درس میتوانید
- قانون هوک را بنویسی و معنای علامت منفی آن را توضیح دهی.
- ثابت فنر را با یکای درست تعریف کنی و از شیب نمودار به دست بیاوری.
- نیروی فنر را برای یک تغییر طول معلوم حساب کنی.
- کشش تعادل فنر زیر وزنهٔ آویخته را پیشبینی کنی.
- مفهوم حد کشسانی و پیامد عبور از آن را بیان کنی.
فنر خودکار را با انگشت فشار میدهی؛ هرچه بیشتر فشار میدهی، فنر محکمتر پس میزند. رها که میکنی، فنر با شتاب به طول نخستش برمیگردد. این رفتار ساده، پشتش قانونی دارد که رابرت هوک در سدهٔ هفدهم آن را نوشت و امروز پایهٔ کار ترازو، دینامومتر و سامانهٔ تعلیق خودروست.
طول آزاد و نیروی بازگرداننده
هر فنر یک طول آزاد دارد؛ همان طولی که وقتی هیچ نیرویی بر آن وارد نیست دارد. اگر فنر را بکشی، سعی میکند جمع شود و اگر فشردهاش کنی، سعی میکند باز شود. یعنی نیروی فنر همیشه خلاف جهت تغییر طول است و میکوشد فنر را به طول آزاد برگرداند. به همین دلیل به آن نیروی بازگرداننده میگویند.
قانون هوک
هوک نشان داد تا وقتی تغییر طول زیاد نباشد، اندازهٔ نیروی فنر با اندازهٔ تغییر طول متناسب است. اگر تغییر طول را با Δl و ثابت فنر را با K نشان دهیم، قانون هوک به این شکل نوشته میشود: F = −K·Δl. علامت منفی چیزی دربارهٔ کم شدن نیرو نمیگوید؛ فقط یادآوری میکند که جهت نیرو وارونهٔ جهت تغییر طول است.
ثابت فنر K اندازهٔ سفتی فنر است و یکای آن نیوتن بر متر است. فنری با ثابت ۲۰۰ نیوتن بر متر یعنی برای هر متر کشیدگی، ۲۰۰ نیوتن نیرو لازم دارد. هرچه این عدد بزرگتر باشد فنر سفتتر است. اگر نیرو را بر حسب تغییر طول رسم کنی، نمودار یک خط راست از مبدأ میشود و شیب همین خط، ثابت فنر است. در شبیهساز، این خط را کنار فنر میبینی؛ هرچه ثابت فنر را بالا ببری خط تندتر میشود.
قانون هوک قانونی مطلق نیست، بلکه تقریبی خوب در ناحیهای به نام ناحیهٔ کشسانی است. اگر فنر را بیش از حد کشسانی بکشی، دیگر به طول آزاد برنمیگردد و برای همیشه دراز میماند؛ رابطهٔ خطی هم آنجا میشکند.
یک مثال عددی کاملاً حلشده
فنری با ثابت ۲۰۰ نیوتن بر متر داریم. آن را ۱۵ سانتیمتر میکشیم و سپس وزنهای به جرم ۱ کیلوگرم از آن میآویزیم. نیروی فنر در حالت اول و کشش تعادل در حالت دوم چقدر است؟
- یکاها را یکسان میکنیم: ۱۵ سانتیمتر برابر ۰٫۱۵ متر است.
- اندازهٔ نیروی فنر: ۲۰۰ × ۰٫۱۵ = ۳۰ نیوتن، رو به بالا یعنی خلاف جهت کشش.
- حالا وزنه را میآویزیم؛ در تعادل، نیروی فنر با وزن وزنه برابر میشود.
- وزن وزنه: ۱ × ۹٫۸۱ = ۹٫۸۱ نیوتن.
- کشش تعادل: ۹٫۸۱ ÷ ۲۰۰ = ۰٫۰۴۹ متر یعنی حدود ۴٫۹ سانتیمتر.
اگر فنر سفتتری با ثابت ۴۰۰ نیوتن بر متر بگذاری، همان وزنه فقط ۲٫۵ سانتیمتر آن را میکشد؛ سفتی دو برابر یعنی کشش نصف.
کاربرد در دنیای واقعی
ترازوی فنری میوهفروشی چیزی جز یک فنر مدرج نیست: چون کشش با وزن متناسب است، میتوان روی صفحهاش بهجای سانتیمتر، کیلوگرم نوشت. دینامومتر آزمایشگاه همین کار را برای نیرو انجام میدهد. سامانهٔ تعلیق خودرو با فنرهایی طراحی میشود که ثابتشان با وزن خودرو بخواند؛ فنر خیلی نرم، خودرو را روی دستانداز تاب میدهد و فنر خیلی سفت، ضربه را مستقیم به سرنشین منتقل میکند. حتی حسگر فشار گوشی هوشمند هم بر پایهٔ تغییر شکل کشسان یک قطعهٔ بسیار کوچک کار میکند.
رابطههای کلیدی
مأموریت شبیهسازی
فنر را بکش و فشرده کن و ببین نیروی فنر و شیب نمودار چگونه به ثابت فنر وابستهاند.
- ثابت فنر را روی ۲۰۰ نیوتن بر متر، تغییر طول را روی ۱۵ سانتیمتر و جرم آویخته را روی ۱ کیلوگرم بگذار و نیروی فنر را بخوان.
- همان عدد را با حاصل ۲۰۰ ضربدر ۰٫۱۵ روی کاغذ بسنج.
- تغییر طول را به ۳۰ سانتیمتر ببر و بررسی کن که نیروی فنر دقیقاً دو برابر میشود.
- تغییر طول را روی ۱۵- سانتیمتر بگذار و ببین اندازهٔ نیرو همان میماند ولی جهت بردار وارونه میشود.
- ثابت فنر را از ۲۰۰ به ۴۰۰ نیوتن بر متر ببر و عدد کشش تعادل را با حالت پیشین مقایسه کن.
آزمون این درس
۵ پرسش چهارگزینهای. پس از ثبت، پاسخ درست و توضیح هر پرسش را میبینید. میتوانید هر چند بار که خواستید تلاش کنید؛ بهترین نمره در کارنامه ثبت میشود.