انرژی کشسانی و نوسان فنر

کمان را می‌کشی و رها می‌کنی؛ تیر با سرعت بیرون می‌پرد. تو کاری روی کمان انجام دادی، کمان آن کار را نگه داشت و در یک لحظه همه‌اش را به تیر پس داد. این انبار موقت، انرژی کشسانی نام دارد و فنر کامل‌ترین نمونهٔ آن است.

انرژی ذخیره‌شده در فنر

برای کشیدن فنر باید کار انجام دهیم و این کار در فنر ذخیره می‌شود. اما نمی‌توانیم مانند حالت نیروی ثابت، به‌سادگی نیرو را در جابه‌جایی ضرب کنیم؛ چون نیروی فنر در طول مسیر بزرگ‌تر می‌شود: از صفر شروع می‌شود و به بیشترین مقدار می‌رسد. راه‌حل، گرفتن میانگین نیروست که برابر نصف بیشترین مقدار است. نتیجه رابطهٔ زیر می‌شود: U = K·Δl²/2. یکای آن مانند هر انرژی دیگری ژول است.

راه دوم و شهودی‌تر، خواندن مساحت زیر نمودار نیرو بر حسب تغییر طول است. چون این نمودار خط راست است، ناحیهٔ زیرش یک مثلث می‌شود و مساحت مثلث برابر نصف قاعده در ارتفاع است؛ همان رابطهٔ بالا. در شبیه‌ساز همین مثلث را رنگی می‌بینی و عددش کنار «انرژی کشسانی» نوشته شده است.

باز هم توجه کن که تغییر طول به توان دو آمده است: با دو برابر کردن کشش، انرژی ذخیره‌شده چهار برابر می‌شود. برای همین کشیدن بیست سانتی‌متر آخرِ یک کش، بسیار سخت‌تر از بیست سانتی‌متر نخست است.

نوسان: رفت و برگشت بی‌پایان

وزنه‌ای را به فنر ببند، پایین بکش و رها کن. فنر آن را به بالا می‌راند، وزنه از نقطهٔ تعادل رد می‌شود، فنر فشرده می‌شود و دوباره به پایین می‌راند. این رفت‌وبرگشت منظم را نوسان می‌گویند و زمان یک رفت‌وبرگشت کامل، دوره نام دارد که با T نشانش می‌دهیم. برای وزنهٔ آویخته از فنر: T = ۲π√(M/K). شگفتی این رابطه آن است که دامنه در آن نیست: چه کم بکشی چه زیاد، دوره همان می‌ماند. جرم بیشتر دوره را بلندتر و فنر سفت‌تر آن را کوتاه‌تر می‌کند.

در طول نوسان، انرژی میان دو انبار جابه‌جا می‌شود: در دورترین نقطه‌ها همه‌اش کشسانی است و سرعت صفر؛ در نقطهٔ تعادل همه‌اش جنبشی است و سرعت بیشینه. مجموع، مانند پارک انرژی، ثابت می‌ماند.

یک مثال عددی کاملاً حل‌شده

فنری با ثابت ۱۰۰ نیوتن بر متر را ۲۰ سانتی‌متر می‌کشیم و وزنه‌ای به جرم ۲ کیلوگرم به آن بسته‌ایم. انرژی ذخیره‌شده، دورهٔ نوسان و بیشترین سرعت وزنه را حساب کن.

1. تبدیل یکا: ۲۰ سانتی‌متر برابر ۰٫۲ متر است.
2. انرژی کشسانی: ۱۰۰ × ۰٫۲ × ۰٫۲ ÷ ۲ = ۲ ژول.
3. دورهٔ نوسان: نسبت جرم به ثابت فنر برابر ۰٫۰۲ و جذر آن ۰٫۱۴۱ است؛ پس T = ۲ × ۳٫۱۴ × ۰٫۱۴۱ = ۰٫۸۹ ثانیه.
4. در نقطهٔ تعادل همهٔ ۲ ژول جنبشی شده است: ۲ = ۲ × v² ÷ ۲ و از آن v² = ۲ به دست می‌آید.
5. بیشترین سرعت: v = ۱٫۴۱ متر بر ثانیه.

حالا کشش را دو برابر و ۴۰ سانتی‌متر کن: انرژی به ۸ ژول یعنی چهار برابر می‌رسد و بیشترین سرعت دو برابر و ۲٫۸۳ متر بر ثانیه می‌شود، اما دورهٔ نوسان همان ۰٫۸۹ ثانیه باقی می‌ماند.

کاربرد در دنیای واقعی

ساعت‌های مکانیکی قدیمی زمان را از دورهٔ ثابت یک فنر مارپیچ می‌گرفتند؛ همین «بی‌اعتنایی دوره به دامنه» بود که ساعت را دقیق نگه می‌داشت. جاذب ضربهٔ خودرو انرژی دست‌انداز را در فنر می‌گیرد و کمک‌فنر آن را به گرما تبدیل می‌کند تا خودرو تاب نخورد. طناب بانجی، ترامپولین و کفش ورزشی هم انبارهای کشسانی‌اند. مهندسان ساختمان در مناطق زلزله‌خیز، سازه را روی تکیه‌گاه‌های کشسان می‌نشانند تا انرژی لرزه پیش از رسیدن به ستون‌ها گرفته شود.