اندازهگیری چگالی به روش ارشمیدس
با توزین در هوا و در شاره، چگالی یک جسم نامعلوم را بدون تخریب و بدون اندازهگیری مستقیم حجم میسنجیم.
در پایان این درس میتوانید
- رابطهٔ توزین هیدرواستاتیکی را از اصل ارشمیدس بیرون بکشی.
- چگالی یک جسم را از دو عدد وزن در هوا و در آب حساب کنی.
- خلوص یک نمونهٔ فلزی را با مقایسهٔ چگالی داوری کنی.
- چگالی را از روی کسر غوطهور یک جسم شناور به دست آوری.
روایت مشهور میگوید پادشاه سیراکوز تاجی سفارش داد و شک کرد که زرگر بخشی از طلا را با نقره عوض کرده باشد. ارشمیدس نمیتوانست تاج را ذوب کند، پس باید چگالی آن را بدون آسیب زدن اندازه میگرفت. راهحل او پایهٔ روشی است که امروز توزین هیدرواستاتیکی نامیده میشود و هنوز در آزمایشگاههای کنترل کیفیت به کار میرود.
ایدهٔ روش
جسم را دو بار وزن میکنیم: یک بار در هوا و یک بار وقتی کاملاً درون شارهای با چگالی معلوم آویزان است. اختلاف این دو عدد دقیقاً همان نیروی ارشمیدس است، و چون نیروی ارشمیدس برابر چگالی شاره ضربدر g ضربدر حجم جسم است، از روی آن میتوان حجم را بیرون کشید. حالا که هم وزن و هم حجم را داریم، چگالی جسم بهدست میآید.
اگر دو رابطه را ترکیب کنیم، به فرمول کوتاه و کاربردی زیر میرسیم: چگالی جسم برابر است با چگالی شاره ضربدر وزن در هوا، تقسیم بر اختلاف وزن در هوا و وزن در شاره. زیبایی این رابطه در آن است که نه به g نیاز دارد و نه به اندازهگیری مستقیم حجم؛ کافی است دو عدد را از یک ترازو بخوانی.
یک مثال عددی کاملاً حلشده
تاجی در هوا ۱۹٫۳۰ نیوتن و وقتی کاملاً در آب با چگالی ۱٬۰۰۰ آویزان است ۱۸٫۳۰ نیوتن وزن نشان میدهد. آیا این تاج از طلای خالص است؟
- نیروی ارشمیدس: ۱۹٫۳۰ منهای ۱۸٫۳۰ برابر ۱٫۰۰ نیوتن.
- حجم تاج: ۱٫۰۰ تقسیم بر حاصلضرب ۱٬۰۰۰ در ۹٫۸، یعنی حدود ۰٫۰۰۰۱۰۲ متر مکعب یا ۱۰۲ سانتیمتر مکعب.
- جرم تاج: ۱۹٫۳۰ تقسیم بر ۹٫۸ برابر ۱٫۹۶۹ کیلوگرم.
- چگالی: ۱٫۹۶۹ تقسیم بر ۰٫۰۰۰۱۰۲ برابر ۱۹٬۳۰۰ کیلوگرم بر متر مکعب. با فرمول کوتاه هم همین عدد به دست میآید: ۱٬۰۰۰ ضربدر ۱۹٫۳۰ تقسیم بر ۱٫۰۰.
عدد ۱۹٬۳۰۰ دقیقاً چگالی طلای خالص است، پس این تاج سالم است. اما فرض کن تاج دوم در هوا ۱۹٫۳۰ و در آب ۱۸٫۱۰ نیوتن باشد. آنگاه اختلاف ۱٫۲۰ نیوتن میشود و چگالی به ۱٬۰۰۰ ضربدر ۱۹٫۳۰ تقسیم بر ۱٫۲۰ یعنی حدود ۱۶٬۱۰۰ کاهش مییابد. این عدد بین چگالی طلا و نقره است و آلیاژ بودن تاج را لو میدهد.
جسم باید در هنگام توزین کاملاً زیر شاره و بدون تماس با کف یا دیوارهٔ ظرف باشد و هیچ حباب هوایی به آن نچسبیده باشد. یک حباب کوچک، حجم جابهجاشده را زیاد و چگالی محاسبهشده را کمتر از مقدار واقعی نشان میدهد.
روش دوم: خواندن کسر غوطهور
اگر جسم در شاره شناور بماند، حتی به ترازو هم نیاز نداری. کافی است کسر غوطهور را اندازه بگیری و در چگالی شاره ضرب کنی تا چگالی جسم به دست آید. پیشفرض شبیهساز این درس نمونهای شگفتانگیز است: سرب با چگالی ۱۱٬۳۴۰ روی جیوه با چگالی ۱۳٬۶۰۰ شناور میماند و کسر غوطهور آن برابر ۱۱٬۳۴۰ تقسیم بر ۱۳٬۶۰۰ یعنی حدود ۰٫۸۳۴ است. اگر این عدد را در ۱۳٬۶۰۰ ضرب کنی، دوباره به ۱۱٬۳۴۰ میرسی.
کاربرد در دنیای واقعی
آزمایشگاههای طلا و جواهر با همین روش، عیار قطعهها را بدون تخریب میسنجند. در مهندسی عمران، چگالی و تخلخل نمونههای سنگ و بتن با توزین در هوا و در آب تعیین میشود. چگالیسنج شناور یا هیدرومتر هم دقیقاً روی همین اصل کار میکند: هرچه مایع چگالتر باشد، هیدرومتر کمتر فرو میرود و عدد بالاتری روی ساقهٔ مدرج آن خوانده میشود.
رابطههای کلیدی
مأموریت شبیهسازی
با شناور کردن سرب روی جیوه، چگالی جسم را از روی کسر غوطهور بازسازی کن و سپس همان جسم را در آب بسنج.
- چگالی جسم را روی ۱۱۳۴۰ که چگالی سرب است و چگالی شاره را روی ۱۳۶۰۰ که چگالی جیوه است بگذار و کسر غوطهور را با سه رقم اعشار بخوان.
- کسر غوطهور خواندهشده را در ۱۳۶۰۰ ضرب کن و بررسی کن آیا دوباره به ۱۱۳۴۰ میرسی.
- چگالی شاره را روی ۱۰۰۰ بگذار و نیروی ارشمیدس روی حجم ۱ لیتر را یادداشت کن، سپس وزن ظاهری را از تفاضل وزن و این نیرو حساب کن.
- چگالی جسم را به ترتیب روی ۲۷۰۰، ۷۸۷۰ و ۱۱۳۴۰ بگذار و در آب، نیروی ارشمیدس و وزن ظاهری هر سه فلز را در یک جدول مقایسه کن.
آزمون این درس
۵ پرسش چهارگزینهای. پس از ثبت، پاسخ درست و توضیح هر پرسش را میبینید. میتوانید هر چند بار که خواستید تلاش کنید؛ بهترین نمره در کارنامه ثبت میشود.