فشار گاز از دید مولکولی

وقتی تایر دوچرخه را باد می‌کنی، دیوارهٔ لاستیک سفت می‌شود. اما درون تایر خبری از یک نیروی پیوسته و یکنواخت نیست؛ آنچه واقعاً رخ می‌دهد بارانی از ضربه‌های بسیار ریز است. هر مولکول هوا که به دیواره می‌خورد و برمی‌گردد، تکانه‌اش تغییر می‌کند و بنا بر قانون دوم نیوتون به دیواره ضربه‌ای وارد می‌کند. جمع میلیاردها ضربه در هر ثانیه چنان یکنواخت به نظر می‌رسد که آن را یک نیروی ثابت حس می‌کنیم. نام این اثرِ میانگین، فشار است.

از تکانهٔ یک مولکول تا فشار کل

فشار برابر نیروی عمود بر واحد سطح است، یعنی P = F / A، و یکای آن پاسکال یا نیوتون بر متر مربع است. مولکولی با جرم m که با مؤلفهٔ سرعت v_x عمود بر دیواره برخورد کشسان می‌کند، پس از برخورد با سرعت v_x در جهت مخالف برمی‌گردد؛ پس اندازهٔ تغییر تکانهٔ آن ۲mv_x است. اگر شمار این برخوردها را در یک بازهٔ زمانی معین بشماریم و بر همهٔ مولکول‌ها میانگین بگیریم، به رابطهٔ کلیدی نظریهٔ جنبشی می‌رسیم:

P = (۱/۳) · (N/V) · m · v_rms²

در این رابطه N تعداد مولکول‌ها، V حجم ظرف، m جرم یک مولکول و v_rms سرعت مؤثر یا همان جذر میانگین مربع سرعت‌هاست. ضریب یک‌سوم از همان فرض بی‌نظمی می‌آید: چون هیچ جهتی برتری ندارد، به‌طور میانگین تنها یک‌سوم انرژی جنبشی به حرکت در راستای عمود بر یک دیوارهٔ معین مربوط می‌شود.

سه شکل مفید از یک رابطه

این رابطه را می‌توان به شکل‌های دیگری هم نوشت. اگر چگالی گاز را ρ = N·m/V بگیریم، به P = (۱/۳)·ρ·v_rms² می‌رسیم که فشار را تنها با چگالی و سرعت مؤثر می‌سنجد. و اگر انرژی جنبشی میانگین هر مولکول را با K نشان دهیم، شکل بسیار پرکاربردِ P·V = (۲/۳)·N·K به دست می‌آید. همین شکل آخر است که در درس بعد پل ارتباطی میان دنیای مولکولی و مفهوم دما می‌شود.

مثال عددی حل‌شده

پرسش: در ظرفی به حجم ۱ متر مکعب، ۳×۱۰²⁵ مولکول نیتروژن با جرم تک‌مولکولی ۴٫۶۵×۱۰⁻²⁶ کیلوگرم و سرعت مؤثر ۵۰۰ متر بر ثانیه وجود دارد. فشار گاز چقدر است؟

1. چگالی عددی را می‌نویسیم: N/V = ۳×۱۰²⁵ ÷ ۱ = ۳×۱۰²⁵ بر متر مکعب.
2. حاصل‌ضرب چگالی عددی در جرم مولکول را حساب می‌کنیم: ۳×۱۰²⁵ × ۴٫۶۵×۱۰⁻²⁶ = ۱٫۳۹۵ کیلوگرم بر متر مکعب؛ این همان چگالی گاز است.
3. مربع سرعت مؤثر را می‌یابیم: ۵۰۰² = ۲۵۰٬۰۰۰ متر مربع بر ثانیهٔ مربع.
4. در رابطه می‌گذاریم: P = (۱/۳) × ۱٫۳۹۵ × ۲۵۰٬۰۰۰ = ۱۱۶٬۲۵۰ پاسکال، یعنی حدود ۱٫۱۶×۱۰⁵ پاسکال.

این عدد نزدیک به فشار جو است و نشان می‌دهد مدل ساده‌مان با واقعیت جور درمی‌آید: هوای اتاق تو دقیقاً به همین سبک، با همین چگالی و همین سرعت‌ها، فشار می‌سازد.

فشار یک کمیت آماری است. اگر بتوانی سطحی به اندازهٔ چند مولکول انتخاب کنی، نیروی وارد بر آن به‌شدت نوسان می‌کند و گاهی صفر می‌شود. تنها وقتی سطح به اندازهٔ کافی بزرگ باشد که در هر لحظه شمار زیادی برخورد روی آن رخ دهد، فشار مقداری ثابت و قابل اندازه‌گیری می‌شود.

کاربرد در دنیای واقعی

در دیگ زودپز، افزایش فشار بخار نقطهٔ جوش آب را از ۱۰۰ به حدود ۱۲۰ درجهٔ سلسیوس می‌برد و پخت را چند برابر تندتر می‌کند. در کپسول‌های غواصی، هوا را چنان فشرده می‌کنند که چگالی عددی مولکول‌ها ده‌ها برابر شود تا حجم کمی از کپسول، هوای مورد نیاز یک ساعت غواصی را در خود جای دهد. در هر دو مثال، فشاری که می‌سنجیم چیزی جز شمارش آماری برخورد مولکول‌ها با دیواره نیست.