معادلهٔ حالت گاز کامل و کار گاز

تا اینجا سه قانون جداگانه دیدیم: بویل رابطهٔ فشار و حجم را در دمای ثابت داد، شارل رابطهٔ حجم و دما را در فشار ثابت، و گِی‌لوساک رابطهٔ فشار و دما را در حجم ثابت. هر سه در واقع سه بُرش از یک رابطهٔ واحدند. اگر آن‌ها را در هم بگنجانیم به زیباترین رابطهٔ گازها می‌رسیم که با آن می‌توان هر حالتی از یک گاز کامل را توصیف کرد.

معادلهٔ حالت گاز کامل

معادلهٔ حالت را می‌توان به دو شکل نوشت:

P·V = n·R·T و P·V = N·k·T

در شکل نخست n تعداد مول و R = ۸٫۳۱۴ ژول بر مول کلوین است؛ در شکل دوم N تعداد مولکول‌ها و k = ۱٫۳۸×۱۰⁻²³ ژول بر کلوین ثابت بولتسمان است. این دو شکل با رابطهٔ R = N_A·k به هم می‌رسند. اگر مقدار گاز عوض نشود، برای دو حالت دلخواه رابطهٔ ترکیبی زیر برقرار است:

P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂

هر سه قانون پیشین با ثابت گرفتن یکی از سه کمیت از همین رابطه بیرون می‌آیند. به یاد داشته باش که در همهٔ این رابطه‌ها فشار باید بر حسب پاسکال، حجم بر حسب متر مکعب و دما بر حسب کلوین باشد تا نتیجه بر حسب ژول درست دربیاید.

کار گاز و قانون یکم

کار گاز همیشه برابر مساحت زیر نمودار فشار-حجم است، اما مقدار آن به مسیر بستگی دارد: در فرایند هم‌فشار W = P·ΔV، در فرایند هم‌دما W = n·R·T·ln(V₂/V₁) و در فرایند هم‌حجم چون جابه‌جایی مرزی رخ نمی‌دهد W برابر صفر است. قانون یکم گرماشناسی این‌ها را به هم می‌دوزد: ΔU = Q منهای W. برای گاز کامل تک‌اتمی، انرژی درونی برابر U = (۳/۲)·n·R·T است، پس ΔU = (۳/۲)·n·R·ΔT که در حجم ثابت به شکل ساده‌تر ΔU = (۳/۲)·V·ΔP هم نوشته می‌شود.

مثال عددی حل‌شده

پرسش: گاز تک‌اتمی کاملی در ظرف صلبی با حجم ۵۰ لیتر، فشار ۱۵۰ کیلوپاسکال و دمای ۴۰۰ کلوین قرار دارد و تا ۶۰۰ کلوین گرم می‌شود. تعداد مول، فشار پایانی، کار و گرمای داده‌شده را بیاب.

1. یکاها: V = ۰٫۰۵۰ متر مکعب و P₁ = ۱٫۵×۱۰⁵ پاسکال، پس P₁V = ۷٬۵۰۰ ژول.
2. تعداد مول: n = ۷٬۵۰۰ ÷ (۸٫۳۱۴ × ۴۰۰) = ۲٫۲۶ مول.
3. فشار پایانی از قانون گِی‌لوساک: P₂ = ۱۵۰ × ۶۰۰ ÷ ۴۰۰ = ۲۲۵ کیلوپاسکال.
4. کار: چون حجم ثابت است، W برابر صفر است.
5. تغییر انرژی درونی: ΔU = ۱٫۵ × V × ΔP = ۱٫۵ × ۰٫۰۵۰ × ۷۵٬۰۰۰ = ۵٬۶۲۵ ژول.
6. از قانون یکم: Q = ΔU + W = ۵٬۶۲۵ ژول.

یعنی تمام گرمای داده‌شده به انرژی درونی گاز رفته و هیچ سهمی از آن به کار مکانیکی تبدیل نشده است؛ این ویژگی همیشگی فرایند هم‌حجم است.

دقت کن که کار یک کمیت وابسته به مسیر است. اگر گاز را از یک حالت آغازین به یک حالت پایانی یکسان، یک بار از راه هم‌دما و بار دیگر از راه هم‌فشار و سپس هم‌حجم ببری، تغییر انرژی درونی در هر دو مسیر یکی است ولی کار و گرما متفاوت‌اند.

کاربرد در دنیای واقعی

موتور احتراق داخلی خودرو زنجیره‌ای از همین فرایندهاست: تراکم مخلوط سوخت و هوا، احتراق تقریباً هم‌حجم که فشار را ناگهان بالا می‌برد، انبساط که کار مفید تولید می‌کند و سپس تخلیه. مهندسان با کشیدن چرخهٔ کامل روی نمودار فشار-حجم، مساحت درون چرخه را حساب می‌کنند؛ همین مساحت برابر کار خالص هر چرخه و در نهایت توان موتور است. کپسول‌های اکسیژن بیمارستانی هم با همین معادله ذخیره‌سازی می‌شوند: از روی فشار و حجم و دمای کپسول، تعداد مول اکسیژن باقی‌مانده و ساعت‌های مصرف را دقیق تخمین می‌زنند.