دما و انرژی جنبشی میانگین

دمای بالا در زبان روزمره یعنی «داغ»، ولی در نظریهٔ جنبشی معنای بسیار دقیق‌تری دارد. اگر دو ظرف گاز را کنار هم بگذاری و اجازه دهی به تعادل گرمایی برسند، چیزی که در پایان برابر می‌شود نه سرعت مولکول‌ها است و نه انرژی کل، بلکه انرژی جنبشی میانگین هر مولکول است. دما در واقع یک کمیت اندازه‌گیر برای همین انرژی جنبشی میانگین است، نه چیز دیگری.

پیوند دما و انرژی جنبشی

در درس پیش دیدیم که P·V = (۲/۳)·N·K. از سوی دیگر آزمایش نشان می‌دهد برای گاز کامل رابطهٔ P·V = N·k·T برقرار است که در آن k ثابت بولتسمان با مقدار ۱٫۳۸×۱۰⁻²³ ژول بر کلوین است. با برابر قرار دادن این دو، رابطهٔ بنیادی زیر به دست می‌آید:

K = (۳/۲)·k·T

یعنی انرژی جنبشی ترابردی میانگین هر مولکول تنها به دمای مطلق بستگی دارد و به جنس گاز، فشار و حجم کاری ندارد. اگر هلیم و اکسیژن در یک دما باشند، انرژی جنبشی میانگین مولکول‌هایشان دقیقاً برابر است. اما چون جرم مولکول اکسیژن هشت برابر هلیم است، سرعت‌ها برابر نیستند.

سرعت مؤثر مولکول‌ها

از رابطهٔ بالا و تعریف K = (۱/۲)·m·v_rms² می‌توان سرعت مؤثر را بیرون کشید:

v_rms = √(۳kT/m) = √(۳RT/M)

در شکل دوم، R = ۸٫۳۱۴ ژول بر مول کلوین ثابت جهانی گازها و M جرم مولی بر حسب کیلوگرم بر مول است. دو نتیجهٔ مهم از این رابطه بیرون می‌آید: نخست آنکه سرعت مؤثر با جذر دمای مطلق متناسب است، پس برای دو برابر کردن سرعت باید دما را چهار برابر کنی؛ دوم آنکه در یک دمای معین، مولکول‌های سبک‌تر تندتر می‌روند. همین نکته توضیح می‌دهد چرا هیدروژن و هلیم به‌راحتی از جو زمین می‌گریزند ولی نیتروژن و اکسیژن می‌مانند.

مثال عددی حل‌شده

پرسش: برای گاز نیتروژن با جرم مولی ۲۸ گرم بر مول، انرژی جنبشی میانگین یک مولکول و سرعت مؤثر را در دمای ۳۰۰ کلوین حساب کن. سپس سرعت مؤثر را در ۷۰۰ کلوین بیاب.

1. انرژی جنبشی میانگین: K = ۱٫۵ × ۱٫۳۸×۱۰⁻²³ × ۳۰۰ = ۶٫۲۱×۱۰⁻²¹ ژول.
2. جرم مولی را به کیلوگرم می‌بریم: M = ۰٫۰۲۸ کیلوگرم بر مول.
3. صورت کسر: ۳ × ۸٫۳۱۴ × ۳۰۰ = ۷٬۴۸۲٫۶ و تقسیم بر ۰٫۰۲۸ برابر ۲۶۷٬۲۳۶ می‌شود.
4. جذر می‌گیریم: v_rms = ۵۱۷ متر بر ثانیه.
5. برای ۷۰۰ کلوین کافی است در √(۷۰۰/۳۰۰) = ۱٫۵۳ ضرب کنیم: ۵۱۷ × ۱٫۵۳ = ۷۹۰ متر بر ثانیه.

یعنی مولکول‌های هوای اتاق تو با سرعتی نزدیک به یک‌ونیم برابر سرعت صوت در حال جابه‌جایی‌اند، هرچند به‌خاطر برخوردهای پیاپی، جابه‌جایی خالصشان بسیار کند است.

توزیع سرعت مولکول‌ها یک عدد ثابت نیست، بلکه یک منحنی زنگوله‌ای نامتقارن به نام توزیع ماکسول-بولتسمان است. با بالا رفتن دما، قلهٔ این منحنی به سمت سرعت‌های بزرگ‌تر می‌رود، پهن‌تر و کوتاه‌تر می‌شود، ولی سطح زیر منحنی که همان تعداد کل مولکول‌هاست ثابت می‌ماند.

کاربرد در دنیای واقعی

غنی‌سازی اورانیوم به روش پخش گازی دقیقاً بر پایهٔ همین رابطه کار می‌کند: دو ایزوتوپ اورانیوم در ترکیب گازی، در دمای یکسان انرژی جنبشی میانگین برابر دارند، ولی ایزوتوپ سبک‌تر اندکی تندتر است و کمی زودتر از دیوارهٔ متخلخل رد می‌شود. در پزشکی هم اکسیژن‌رسانی و بی‌هوشی با گازهای سبک مانند هلیم بر همین تفاوت سرعت و آهنگ پخش تکیه دارد.