قانون بویل و فرایند هم‌دما

سرِ سرنگی را با انگشت ببند و پیستون را فشار بده. هرچه حجم هوای درون سرنگ کمتر می‌شود، مقاومت آن در برابر انگشتت بیشتر می‌شود. از دید مولکولی دلیلش روشن است: با کم شدن حجم، همان تعداد مولکول در فضای کوچک‌تری زندانی می‌شوند، پس در هر ثانیه بیشتر به دیواره می‌خورند و فشار بالا می‌رود. اگر این کار را آهسته انجام دهی تا دما فرصت داشته باشد با محیط برابر بماند، به یکی از قدیمی‌ترین قانون‌های فیزیک می‌رسی.

قانون بویل

رابرت بویل در سال ۱۶۶۲ نشان داد برای مقدار ثابتی از یک گاز و در دمای ثابت، فشار و حجم وارونه با هم متناسب‌اند:

P·V = ثابت، یعنی P₁·V₁ = P₂·V₂

نمودار فشار بر حسب حجم در دمای ثابت یک منحنی هذلولی‌شکل است که آن را «هم‌دما» می‌نامند. هر دمای بالاتر، هم‌دمای دورتری از مبدأ می‌سازد. توجه کن که این قانون تنها وقتی معتبر است که هم دما ثابت بماند و هم مقدار گاز تغییر نکند؛ اگر پیستون را تند فشار دهی، گاز گرم می‌شود و نتیجه از قانون بویل فاصله می‌گیرد.

کار گاز در فرایند هم‌دما

کار انجام‌شده توسط گاز برابر مساحت زیر نمودار فشار-حجم است. چون در فرایند هم‌دما فشار ثابت نیست، این مساحت را باید با انتگرال گرفت و نتیجه چنین می‌شود:

W = n·R·T·ln(V₂/V₁) = P₁·V₁·ln(V₂/V₁)

در انبساط، V₂ بزرگ‌تر از V₁ است و لگاریتم مثبت می‌شود، پس گاز کار مثبت انجام می‌دهد؛ در تراکم، عکس این اتفاق می‌افتد. نکتهٔ ظریف اینجاست که انرژی درونی گاز کامل تنها به دما بستگی دارد؛ پس در فرایند هم‌دما ΔU برابر صفر است و از قانون یکم گرماشناسی نتیجه می‌گیریم Q = W. یعنی هر ژول کاری که گاز انجام می‌دهد را دقیقاً به شکل گرما از محیط می‌گیرد.

مثال عددی حل‌شده

پرسش: گازی با فشار اولیهٔ ۱۲۰ کیلوپاسکال و حجم ۶۰ لیتر در دمای ۳۰۰ کلوین قرار دارد و به‌طور هم‌دما تا حجم ۳۰ لیتر فشرده می‌شود. فشار پایانی، تعداد مول و کار گاز را بیاب.

1. یکاها را مرتب می‌کنیم: P₁ = ۱٫۲×۱۰⁵ پاسکال و V₁ = ۰٫۰۶۰ متر مکعب، پس P₁V₁ = ۷٬۲۰۰ ژول.
2. فشار پایانی از قانون بویل: P₂ = ۱۲۰ × ۶۰ ÷ ۳۰ = ۲۴۰ کیلوپاسکال.
3. تعداد مول: n = P₁V₁ ÷ (R·T) = ۷٬۲۰۰ ÷ (۸٫۳۱۴ × ۳۰۰) = ۲٫۸۹ مول.
4. کار گاز: W = ۷٬۲۰۰ × ln(۳۰/۶۰) = ۷٬۲۰۰ × منفی ۰٫۶۹۳ که برابر منفی ۴٬۹۹۰ ژول است.

علامت منفی یعنی گاز کار منفی انجام داده و در واقع محیط حدود ۴٫۹۹ کیلوژول کار روی گاز کرده است. چون دما ثابت مانده، همین مقدار انرژی هم به شکل گرما از گاز بیرون رفته است.

قانون بویل برای گازهای واقعی در فشارهای بسیار بالا یا دماهای بسیار پایین از دقت می‌افتد، چون آنجا دیگر نه می‌توان حجم خود مولکول‌ها را ناچیز گرفت و نه نیروهای جاذبهٔ میان‌مولکولی را نادیده گرفت. برای این حالت‌ها از معادلهٔ اصلاح‌شدهٔ واندروالس استفاده می‌شود.

کاربرد در دنیای واقعی

شش‌های تو یک نمونهٔ زندهٔ قانون بویل‌اند: با پایین رفتن دیافراگم، حجم قفسهٔ سینه زیاد و فشار درون شش کمی کمتر از فشار جو می‌شود و هوا به درون کشیده می‌شود. غواصان هم باید این قانون را جدی بگیرند؛ حباب هوایی که در عمق سی متری حجم یک لیتر دارد، هنگام بالا آمدن به سطح تقریباً چهار برابر می‌شود و به همین دلیل غواص هرگز نباید هنگام صعود نفسش را حبس کند.