پرتابه‌ها و حرکت در دو بعد

توپی را رو به بالا و کمی مایل پرتاب کن. مسیرش کمانی هموار است که بالا می‌رود، در اوج لحظه‌ای درنگ می‌کند و سپس پایین می‌آید. گالیله نخستین کسی بود که راز این کمان را فهمید و راز آن به شگفتی ساده است: حرکت پرتابه را می‌توان به دو حرکت مستقل تجزیه کرد. در راستای افقی هیچ نیرویی وارد نمی‌شود (اگر از مقاومت هوا چشم بپوشیم)، پس حرکت افقی یکنواخت است. در راستای قائم تنها وزن اثر می‌کند، پس حرکت قائم شتاب ثابت g دارد. این دو حرکت هم‌زمان‌اند اما در محاسبه کاملاً از هم جدا می‌مانند و تنها چیز مشترکشان زمان است.

تجزیه به مؤلفه‌ها

اگر جسمی با تندی اولیهٔ v₀ و زیر زاویهٔ θ نسبت به افق پرتاب شود، مؤلفهٔ افقی سرعت برابر vx = v₀·cos θ و مؤلفهٔ قائم اولیه برابر vy₀ = v₀·sin θ است. مؤلفهٔ افقی در تمام مسیر ثابت می‌ماند، اما مؤلفهٔ قائم مطابق vy = v₀·sin θ - g·t تغییر می‌کند. در نقطهٔ اوج، vy صفر می‌شود ولی تندی جسم صفر نیست؛ در آنجا جسم همچنان با vx به سمت جلو می‌رود. این یکی از رایج‌ترین بدفهمی‌ها است.

از همین دو معادله سه نتیجهٔ پرکاربرد به دست می‌آید: زمان پرواز روی زمین هموار T = ۲·v₀·sin θ / g، اوج H = v₀²·sin²θ / (۲g) و بُرد R = v₀²·sin(۲θ) / g. چون sin(۲θ) برای θ برابر ۴۵ درجه بیشینه است، بیشترین بُرد در همین زاویه رخ می‌دهد. همچنین چون sin(۲θ) برای دو زاویهٔ مکمل یکسان است، زاویه‌های ۳۰ و ۶۰ درجه بُرد برابری می‌دهند، هرچند اوج و زمان پروازشان یکی نیست.

استقلال دو راستا یعنی اگر هم‌زمان یک گلوله را افقی شلیک کنی و گلولهٔ دیگری را از همان ارتفاع رها کنی، هر دو در یک لحظه به زمین می‌رسند.

یک مثال عددی کاملاً حل‌شده

توپی با تندی ۲۰ متر بر ثانیه زیر زاویهٔ ۳۰ درجه از سطح زمین پرتاب می‌شود و g را ۹٫۸۱ متر بر مجذور ثانیه می‌گیریم.

1. مؤلفه‌ها: vx = ۲۰ × cos ۳۰ = ۲۰ × ۰٫۸۶۶ = ۱۷٫۳۲ متر بر ثانیه و vy₀ = ۲۰ × ۰٫۵ = ۱۰ متر بر ثانیه.
2. زمان تا اوج: t = ۱۰ ÷ ۹٫۸۱ = ۱٫۰۲ ثانیه، پس زمان کل پرواز ۲٫۰۴ ثانیه است.
3. اوج: H = ۱۰² ÷ (۲ × ۹٫۸۱) = ۱۰۰ ÷ ۱۹٫۶۲ = ۵٫۱ متر.
4. بُرد: R = ۱۷٫۳۲ × ۲٫۰۴ = ۳۵٫۳ متر. با رابطهٔ مستقیم هم R = ۴۰۰ × sin ۶۰ ÷ ۹٫۸۱ = ۴۰۰ × ۰٫۸۶۶ ÷ ۹٫۸۱ = ۳۵٫۳ متر به دست می‌آید.

وقتی هوا وارد بازی می‌شود

در دنیای واقعی مقاومت هوا مسیر را نامتقارن می‌کند: شاخهٔ فرود کوتاه‌تر و تندتر از شاخهٔ صعود است و بُرد واقعی از مقدار نظری کمتر می‌شود. به همین دلیل زاویهٔ بهینهٔ پرتاب گلولهٔ توپخانه یا نیزه در ورزش، معمولاً کمتر از ۴۵ درجه است. اگر پرتاب از ارتفاع اولیهٔ h₀ انجام شود نیز زاویهٔ بهینه از ۴۵ درجه کمتر می‌شود، چون جسم فرصت بیشتری برای پیشروی افقی دارد.

کاربرد در دنیای واقعی

بسکتبالیست‌ها، طراحان فواره‌های شهری، مهندسان پرتاب آب آتش‌نشانی و برنامه‌نویسان بازی‌های رایانه‌ای همگی از همین رابطه‌ها استفاده می‌کنند. در نجات دریایی، خلبان بالگرد باید بداند بسته‌ای که رها می‌کند با سرعت افقی خود بالگرد به جلو می‌رود و درست زیر نقطهٔ رهاشدن فرود نمی‌آید. محاسبهٔ همین «پیش‌افتادگی» دقیقاً همان تجزیهٔ دو مؤلفه‌ای است که در این درس آموختی.