نوسان: آونگ ساده و دورهٔ تناوب
دورهٔ آونگ ساده را محاسبه کن و ببین چرا به جرم و دامنهٔ کوچک بستگی ندارد.
در پایان این درس میتوانید
- نیروی بازگردانندهٔ آونگ ساده را شناسایی کنی.
- دوره و بسامد آونگ را از روی طول نخ و شتاب گرانش محاسبه کنی.
- استقلال دوره از جرم و از دامنهٔ کوچک را توضیح دهی.
- تبدیل انرژی پتانسیل به جنبشی را در طول یک نوسان دنبال کنی.
- اثر میرایی بر دامنه و بر دوره را از هم تفکیک کنی.
ساعتهای پاندولی قدیمی سالها دقیقترین ابزار زمانسنجی جهان بودند و راز دقتشان یک ویژگی شگفتانگیز بود: دورهٔ تناوب آونگ تقریباً به دامنهٔ نوسان و به جرم وزنه بستگی ندارد. گالیله این نکته را با تماشای نوسان چلچراغ کلیسا و شمردن ضربان نبض خودش کشف کرد. در این درس میبینیم این استقلال از کجا میآید و کجا از کار میافتد.
چرا آونگ نوسان میکند
آونگ ساده یعنی جرمی نقطهای که به نخی سبک و ناکشسان آویزان است. وقتی آونگ را به اندازهٔ زاویهٔ θ از حالت قائم منحرف میکنی، مؤلفهای از وزن به اندازهٔ m·g·sin θ در راستای مماس بر مسیر ظاهر میشود و آونگ را به سمت وضعیت تعادل باز میگرداند. این همان نیروی بازگردانندهٔ لازم برای هر نوسان است.
برای زاویههای کوچک، sin θ تقریباً برابر خود θ بر حسب رادیان است. با این تقریب، نیروی بازگرداننده متناسب با جابهجایی میشود و حرکت به هماهنگ ساده تبدیل میشود. حل معادله به رابطهٔ مشهور T = ۲π·√(L/g) میرسد. در این رابطه نه جرم دیده میشود و نه دامنه؛ فقط طول نخ و شتاب گرانش. بسامد نیز عکس دوره است.
تقریب زاویهٔ کوچک برای دامنههای تا حدود ۱۵ تا ۲۰ درجه خطای کمتر از یک درصد دارد. در دامنهٔ ۴۵ درجه، دورهٔ واقعی حدود ۴ درصد بیشتر از مقدار فرمول میشود؛ پس فرمول تقریبی است، نه دقیق.
یک مثال عددی کاملاً حلشده
آونگی به طول ۱ متر و جرم ۰٫۲ کیلوگرم با دامنهٔ ۲۰ درجه در محلی با g برابر ۹٫۸۱ متر بر مجذور ثانیه نوسان میکند.
- دوره: T = ۲π × √(۱ ÷ ۹٫۸۱) = ۲π × ۰٫۳۱۹۳ = ۲٫۰۱ ثانیه.
- بسامد: f = ۱ ÷ ۲٫۰۱ = ۰٫۵ هرتز، یعنی نیم نوسان کامل در هر ثانیه.
- ارتفاع اوج نسبت به پایینترین نقطه: h = L × (۱ - cos ۲۰) = ۱ × (۱ - ۰٫۹۳۹۷) = ۰٫۰۶۰۳ متر یا حدود ۶ سانتیمتر.
- انرژی کل: E = m·g·h = ۰٫۲ × ۹٫۸۱ × ۰٫۰۶۰۳ = ۰٫۱۱۸ ژول.
- بیشینهٔ تندی در پایینترین نقطه: v = √(۲ × ۹٫۸۱ × ۰٫۰۶۰۳) = √۱٫۱۸۳ = ۱٫۰۹ متر بر ثانیه.
اگر بخواهیم دوره را نصف کنیم، باید طول را به یکچهارم برسانیم، یعنی ۰٫۲۵ متر؛ چون T با ریشهٔ دوم L متناسب است. و اگر همین آونگ را به ماه ببریم که g آن ۱٫۶۲ است، دوره به ۴٫۹۴ ثانیه میرسد.
میرایی و کاربردها
در دنیای واقعی مقاومت هوا و اصطکاک تکیهگاه، انرژی را کمکم میگیرند و دامنه بهصورت نمایی کاهش مییابد؛ به این پدیده میرایی میگویند. نکتهٔ مهم آن است که در میرایی ضعیف، دامنه کوچک میشود ولی دوره تقریباً دستنخورده میماند و ساعت پاندولی همچنان درست کار میکند. از همین رابطهها در گرانشسنجی برای اندازهگیری دقیق g و شناسایی ذخایر زیرزمینی، در تنظیم مترونوم موسیقی، و در طراحی میراگرهای جرمی تنظیمشده استفاده میشود؛ همان وزنههای غولپیکری که در برجهای بلند نوسان ساختمان را در برابر باد و زلزله مهار میکنند.
رابطههای کلیدی
مأموریت شبیهسازی
طول نخ، دامنه، شتاب گرانش و میرایی را تغییر بده و ببین کدامیک دوره را عوض میکند و کدامیک فقط دامنه را.
- با طول ۱ متر و g برابر ۹٫۸۱، دوره را بخوان و با مقدار محاسبهشدهٔ ۲٫۰۱ ثانیه مقایسه کن.
- طول نخ را روی ۰٫۲۵ متر بگذار و بررسی کن که دوره دقیقاً نصف میشود.
- دامنه را از ۲۰ به ۴۰ درجه ببر و ببین دوره تقریباً ثابت میماند و فقط اندکی بیشتر میشود.
- میرایی را روی ۰ بگذار و ببین دامنه دیگر کاهش نمییابد و نوسان بیپایان ادامه مییابد.
- شتاب گرانش را روی ۱٫۶ بگذار تا ماه شبیهسازی شود و دورهٔ جدید را با حالت زمینی مقایسه کن.
آزمون این درس
۵ پرسش چهارگزینهای. پس از ثبت، پاسخ درست و توضیح هر پرسش را میبینید. میتوانید هر چند بار که خواستید تلاش کنید؛ بهترین نمره در کارنامه ثبت میشود.