تکانه و برخورد کشسان و ناکشسان
تکانه را تعریف کن، پایستگی آن را در برخوردها به کار ببر و برخورد کشسان را از ناکشسان بازشناس.
در پایان این درس میتوانید
- تکانه را بهعنوان کمیتی برداری تعریف کنی و علامت آن را درست به کار ببری.
- پایستگی تکانه را از قانون سوم نیوتن نتیجه بگیری.
- سرعتهای نهایی در برخورد کشسان یکبعدی را محاسبه کنی.
- انرژی از دست رفته در برخورد کاملاً ناکشسان را به دست آوری.
- نقش ضریب بازگشت e را در دستهبندی برخوردها توضیح دهی.
دو توپ بیلیارد به هم میخورند و هر کدام به سویی میروند. یک نارنجک ترقهای میترکد و تکههایش پراکنده میشوند. یک موشک گاز را به عقب میراند و خودش به جلو میرود. این سه رویداد در ظاهر بیربطاند، اما همه از یک قانون واحد پیروی میکنند: پایستگی تکانه. تکانه یا اندازهٔ حرکت، حاصلضرب جرم در سرعت است و یک کمیت برداری است؛ یعنی علامت آن جهت حرکت را نشان میدهد و در محاسبه هرگز نباید فراموش شود.
چرا تکانه پایسته میماند
بنا بر قانون سوم نیوتن، نیرویی که جسم یکم به جسم دوم وارد میکند دقیقاً هماندازه و در خلاف جهت نیرویی است که جسم دوم به جسم یکم وارد میکند. این دو نیرو در مدت زمان یکسانی اثر میکنند، پس تغییر تکانهٔ دو جسم هماندازه و مخالف است و مجموع آن صفر میشود. نتیجه این است که در نبود نیروی خارجی، تکانهٔ کل سامانه پیش و پس از برخورد یکسان میماند: m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁' + m₂v₂'.
اما انرژی جنبشی همیشه پایسته نیست. برای دستهبندی برخوردها از ضریب بازگشت e استفاده میکنیم که برابر نسبت سرعت جدایی به سرعت نزدیکشدن است. اگر e = ۱ باشد برخورد کشسان است و انرژی جنبشی هم پایسته میماند. اگر e = ۰ باشد برخورد کاملاً ناکشسان است و دو جسم به هم میچسبند و با سرعت مشترک میروند. مقادیر میانی، برخوردهای واقعی مانند برخورد توپ فوتبال با زمین را توصیف میکنند.
در همهٔ برخوردها تکانه پایسته است، اما انرژی جنبشی فقط در برخورد کشسان پایسته میماند. انرژی گمشده به گرما، صدا و تغییر شکل دائمی تبدیل میشود؛ نابود نمیشود.
یک مثال عددی کاملاً حلشده
گلولهای به جرم ۲ کیلوگرم با سرعت ۵ متر بر ثانیه به راست حرکت میکند و با گلولهای به جرم ۳ کیلوگرم که با سرعت ۲ متر بر ثانیه به چپ میآید (یعنی سرعت -۲) برخورد کشسان میکند.
- تکانهٔ اولیه: ۲ × ۵ + ۳ × (-۲) = ۱۰ - ۶ = ۴ کیلوگرم متر بر ثانیه.
- انرژی جنبشی اولیه: ½ × ۲ × ۲۵ + ½ × ۳ × ۴ = ۲۵ + ۶ = ۳۱ ژول.
- سرعت نهایی جسم یکم: v₁' = ((۲ - ۳) × ۵ + ۲ × ۳ × (-۲)) ÷ ۵ = (-۵ - ۱۲) ÷ ۵ = -۳٫۴ متر بر ثانیه.
- سرعت نهایی جسم دوم: v₂' = ((۳ - ۲) × (-۲) + ۲ × ۲ × ۵) ÷ ۵ = (-۲ + ۲۰) ÷ ۵ = ۳٫۶ متر بر ثانیه.
- وارسی: تکانهٔ نهایی برابر ۲ × (-۳٫۴) + ۳ × ۳٫۶ = -۶٫۸ + ۱۰٫۸ = ۴ و انرژی نهایی برابر ½ × ۲ × ۱۱٫۵۶ + ½ × ۳ × ۱۲٫۹۶ = ۱۱٫۵۶ + ۱۹٫۴۴ = ۳۱ ژول. هر دو پایستهاند.
حالا همان برخورد را کاملاً ناکشسان بگیریم. سرعت مشترک برابر ۴ ÷ ۵ یعنی ۰٫۸ متر بر ثانیه میشود و انرژی جنبشی نهایی تنها ½ × ۵ × ۰٫۶۴ = ۱٫۶ ژول است؛ یعنی ۲۹٫۴ ژول انرژی به گرما و تغییر شکل رفته است.
کاربرد در دنیای واقعی
منطقهٔ مچالهشوندهٔ خودرو دقیقاً برای همین ساخته شده است: با طولانیکردن زمان برخورد، نیروی وارد بر سرنشین کاهش مییابد، چون ضربه یعنی حاصلضرب نیرو در زمان برابر تغییر تکانه است. کیسهٔ هوا، کلاه ایمنی، تشک پرش ارتفاع و حتی خمکردن زانو هنگام فرود از یک دیوار، همگی همین ترفند را به کار میگیرند.
رابطههای کلیدی
مأموریت شبیهسازی
جرمها، سرعتهای اولیه و ضریب بازگشت را تغییر بده و تکانه و انرژی جنبشی را پیش و پس از برخورد مقایسه کن.
- با تنظیم اولیه و e برابر ۱، سرعتهای نهایی را بخوان و با مقادیر محاسبهشدهٔ -۳٫۴ و ۳٫۶ متر بر ثانیه مقایسه کن.
- ضریب بازگشت را روی ۰ بگذار و ببین هر دو جسم با سرعت مشترک ۰٫۸ متر بر ثانیه به راه میافتند.
- ضریب بازگشت را روی ۰٫۵ بگذار و نشان بده انرژی جنبشی نهایی میان دو حالت پیشین قرار میگیرد.
- جرم دوم را برابر ۲ و سرعت دوم را برابر ۰ کن و در حالت کشسان ببین دو جسم سرعتهایشان را با هم عوض میکنند.
- برای هر مقدار ضریب بازگشت، تکانهٔ کل را پیش و پس از برخورد بخوان و برابری آنها را وارسی کن.
آزمون این درس
۵ پرسش چهارگزینهای. پس از ثبت، پاسخ درست و توضیح هر پرسش را میبینید. میتوانید هر چند بار که خواستید تلاش کنید؛ بهترین نمره در کارنامه ثبت میشود.