قوانین نیوتن روی سطح شیبدار و اصطکاک
نیروها را روی شیب تجزیه کن، نیروی عمودی و اصطکاک را بیاب و شتاب لغزش را محاسبه کن.
در پایان این درس میتوانید
- نمودار جسم آزاد را برای جسمی روی سطح شیبدار رسم کنی.
- وزن را به مؤلفههای موازی و عمود بر شیب تجزیه کنی.
- شتاب لغزش را از رابطهٔ a = g(sin θ - μ·cos θ) به دست آوری.
- شرط لغزیدن یا نلغزیدن جسم را با مقایسهٔ tan θ و μ تعیین کنی.
- توضیح دهی چرا شتاب لغزش به جرم جسم بستگی ندارد.
یک کتاب را روی میز بگذار و میز را کمکم کج کن. تا زاویهای مشخص کتاب سر جایش میماند، اما از یک زاویه به بعد ناگهان میلغزد. چه چیزی این آستانه را تعیین میکند؟ پاسخ در سه نیرویی است که روی جسم اثر میکنند: وزن، نیروی عمودی سطح و اصطکاک. سطح شیبدار بهترین صحنه برای تمرین قوانین نیوتن است، چون همهٔ مهارتهای لازم را یکجا میطلبد: رسم نمودار جسم آزاد، انتخاب هوشمندانهٔ محورها و تجزیهٔ نیروها.
انتخاب محورها و تجزیهٔ وزن
ترفند اصلی این است که محور x را در امتداد شیب و محور y را عمود بر آن بگیری. با این انتخاب، شتاب فقط در راستای x ظاهر میشود و کار سادهتر میشود. حالا وزن mg را تجزیه میکنیم: مؤلفهٔ موازی با شیب برابر m·g·sin θ و مؤلفهٔ عمود بر شیب برابر m·g·cos θ است. چون جسم از سطح جدا نمیشود، در راستای y تعادل داریم و نیروی عمودی سطح برابر N = m·g·cos θ میشود. توجه کن که N با mg برابر نیست؛ هرچه زاویه بیشتر شود N کوچکتر میشود.
نیروی اصطکاک جنبشی از رابطهٔ f = μ·N به دست میآید و همیشه مخالف جهت حرکت است. با نوشتن قانون دوم نیوتن در راستای شیب داریم: m·a = m·g·sin θ - μ·m·g·cos θ. جرم از دو طرف حذف میشود و به نتیجهای زیبا میرسیم: a = g·(sin θ - μ·cos θ). یعنی شتاب لغزش به جرم بستگی ندارد؛ یک آجر و یک سنگریزه روی همان سطح، با شتاب یکسان سر میخورند.
شرط لغزیدن آن است که m·g·sin θ از بیشینهٔ اصطکاک ایستایی بزرگتر شود. با سادهسازی به شرط tan θ = μs میرسیم؛ به زاویهای که در آن جسم درست شروع به حرکت میکند «زاویهٔ اصطکاک» میگویند و از آن برای اندازهگیری ضریب اصطکاک استفاده میشود.
یک مثال عددی کاملاً حلشده
جعبهای به جرم ۵ کیلوگرم روی سطحی با زاویهٔ ۳۰ درجه و ضریب اصطکاک ۰٫۲ از حال سکون رها میشود و ۸ متر روی شیب سر میخورد.
- مؤلفهٔ موازی وزن: ۵ × ۹٫۸۱ × sin ۳۰ = ۵ × ۹٫۸۱ × ۰٫۵ = ۲۴٫۵۳ نیوتن.
- نیروی عمودی سطح: N = ۵ × ۹٫۸۱ × cos ۳۰ = ۵ × ۹٫۸۱ × ۰٫۸۶۶ = ۴۲٫۴۸ نیوتن.
- نیروی اصطکاک: f = ۰٫۲ × ۴۲٫۴۸ = ۸٫۵ نیوتن.
- نیروی خالص: ۲۴٫۵۳ - ۸٫۵ = ۱۶٫۰۳ نیوتن، پس a = ۱۶٫۰۳ ÷ ۵ = ۳٫۲۱ متر بر مجذور ثانیه.
- سرعت در پایان مسیر: v = √(۲ × ۳٫۲۱ × ۸) = √۵۱٫۳ = ۷٫۱۶ متر بر ثانیه.
چون tan ۳۰ برابر ۰٫۵۸ و بزرگتر از ۰٫۲ است، جعبه واقعاً میلغزد و پاسخها معنا دارند. اگر ضریب اصطکاک را روی ۰٫۶ میگذاشتیم، جعبه اصلاً حرکت نمیکرد و شتاب صفر میشد، نه منفی.
کاربرد در دنیای واقعی
شیب مجاز جادههای کوهستانی، طراحی سرسره و نوار نقاله، زاویهٔ انبار غلات و حتی تحلیل خطر رانش زمین همگی بر همین رابطهها استوارند. مهندسان راه برای جادههای یخزده، ضریب اصطکاک را نزدیک ۰٫۱ در نظر میگیرند و به همین دلیل شیب طولی جادههای کوهستانی را محدود میکنند. در ورزش نیز واکس اسکی دقیقاً برای دستکاری همین ضریب μ ساخته میشود.
رابطههای کلیدی
مأموریت شبیهسازی
زاویه، جرم، ضریب اصطکاک و طول شیب را تغییر بده و ببین شتاب، نیروی اصطکاک و سرعت انتهایی چگونه پاسخ میدهند.
- با زاویهٔ ۳۰ درجه، جرم ۵ کیلوگرم و ضریب ۰٫۲، شتاب را بخوان و با مقدار محاسبهشدهٔ ۳٫۲۱ مقایسه کن.
- جرم را از ۵ به ۱۰ کیلوگرم ببر و بررسی کن که شتاب ثابت میماند ولی نیروی اصطکاک دو برابر میشود.
- ضریب اصطکاک را کمکم زیاد کن تا جسم دیگر سر نخورد و آستانهٔ بهدستآمده را با tan ۳۰ بسنج.
- زاویه را روی ۰ بگذار و ببین شتاب صفر میشود، چون دیگر مؤلفهٔ محرکی وجود ندارد.
- طول شیب را از ۸ به ۱۶ متر ببر و بررسی کن که سرعت انتهایی چند برابر میشود.
آزمون این درس
۵ پرسش چهارگزینهای. پس از ثبت، پاسخ درست و توضیح هر پرسش را میبینید. میتوانید هر چند بار که خواستید تلاش کنید؛ بهترین نمره در کارنامه ثبت میشود.