کار، انرژی و پایستگی انرژی مکانیکی

سنگی را از بالای یک سرسره رها کن. هرچه پایین‌تر می‌آید تندتر می‌شود. چیزی در بالای سرسره «ذخیره» بوده که در پایین به حرکت تبدیل شده است. آن ذخیره را انرژی پتانسیل گرانشی و آن حرکت را انرژی جنبشی می‌نامیم. مفهوم انرژی به ما اجازه می‌دهد بسیاری از مسئله‌ها را بدون درگیر شدن با جزئیات نیرو و شتاب، تنها با مقایسهٔ حالت آغاز و پایان حل کنیم.

کار و قضیهٔ کار-انرژی

کار یعنی حاصل‌ضرب نیرو در جابه‌جایی در کسینوس زاویهٔ میان آن‌ها: W = F·d·cos θ. یکای کار ژول است. اگر نیرو عمود بر جابه‌جایی باشد کار آن صفر است؛ به همین دلیل نیروی عمودی سطح روی شیب هیچ کاری انجام نمی‌دهد. اگر نیرو خلاف جهت حرکت باشد، مانند اصطکاک، کار منفی است و از انرژی جسم می‌کاهد.

قضیهٔ کار-انرژی می‌گوید کار خالص همهٔ نیروها برابر تغییر انرژی جنبشی است: W_net = ΔK که در آن K = ½·m·v². از سوی دیگر، کار نیروی وزن را می‌توان به‌صورت کاهش انرژی پتانسیل U = m·g·h نوشت. با ترکیب این دو، به پایستگی انرژی مکانیکی می‌رسیم: هرگاه فقط نیروهای پایستار کار کنند، K₁ + U₁ = K₂ + U₂.

ارتفاع h را همیشه نسبت به مبدأیی که خودت انتخاب می‌کنی بسنج. انتخاب مبدأ آزاد است و پاسخ نهایی را تغییر نمی‌دهد، چون فقط تفاضل انرژی پتانسیل معنا دارد.

یک مثال عددی کاملاً حل‌شده

جسمی به جرم ۴ کیلوگرم از بالای سطحی بدون اصطکاک با زاویهٔ ۲۵ درجه و طول ۱۲ متر از حال سکون رها می‌شود.

1. ارتفاع: h = ۱۲ × sin ۲۵ = ۱۲ × ۰٫۴۲۲۶ = ۵٫۰۷ متر.
2. انرژی پتانسیل اولیه: U = ۴ × ۹٫۸۱ × ۵٫۰۷ = ۱۹۹ ژول.
3. چون اصطکاک نداریم، همهٔ آن به انرژی جنبشی تبدیل می‌شود: ½ × ۴ × v² = ۱۹۹، پس v² = ۹۹٫۵ و v = ۹٫۹۷ متر بر ثانیه.
4. وارسی با روش نیرویی: a = ۹٫۸۱ × sin ۲۵ = ۴٫۱۵ متر بر مجذور ثانیه و v = √(۲ × ۴٫۱۵ × ۱۲) = √۹۹٫۵ = ۹٫۹۷ متر بر ثانیه. دو روش دقیقاً یک پاسخ می‌دهند.

حالا اصطکاک را با ضریب ۰٫۲ وارد می‌کنیم. نیروی اصطکاک برابر ۰٫۲ × ۴ × ۹٫۸۱ × cos ۲۵ = ۷٫۱۱ نیوتن و کار آن در ۱۲ متر برابر ۸۵٫۴ ژول است که با علامت منفی وارد می‌شود. انرژی جنبشی پایانی به ۱۹۹ - ۸۵٫۴ = ۱۱۳٫۶ ژول می‌رسد و از آنجا v = √(۲ × ۱۱۳٫۶ ÷ ۴) = √۵۶٫۸ = ۷٫۵۴ متر بر ثانیه. می‌بینی که سرعت نهایی حدود یک‌چهارم افت کرده است.

کاربرد در دنیای واقعی

ترن هوایی نمونهٔ درسی این مبحث است: قطار را تا بلندترین تپه بالا می‌کشند و از آن پس تمام مسیر با تبدیل پیوستهٔ انرژی پتانسیل به جنبشی و برعکس طی می‌شود؛ به همین دلیل هیچ تپه‌ای نمی‌تواند از تپهٔ نخست بلندتر باشد. نیروگاه‌های تلمبه‌ذخیره‌ای در ساعات کم‌مصرف آب را به مخزن بالایی پمپ می‌کنند تا انرژی را به شکل پتانسیل ذخیره کنند و در ساعات اوج مصرف آزادش کنند. ترمز بازیاب در خودروهای برقی نیز به‌جای هدر دادن انرژی جنبشی در قالب گرما، آن را به باتری بازمی‌گرداند.