از دو بعد به سه بعد: حجم‌های پایه

وقتی روی کاغذ یک مربع می‌کشی، تنها دو اندازه در اختیار داری: طول و عرض. همین‌که به آن مربع ضخامت بدهی و آن را در فضا امتداد دهی، یک مکعب به دست می‌آید و اندازهٔ سومی به نام ارتفاع وارد کار می‌شود. مدل‌سازی سه‌بعدی دقیقاً همین گذر از سطح به فضاست. نکتهٔ مهم این است که تقریباً هر مدل پیچیده‌ای، از یک قطعهٔ موتور تا یک شخصیت انیمیشن، از ترکیب و برش و تکرار چند حجم ساده ساخته می‌شود. پس اگر این حجم‌های پایه و رابطه‌هایشان را خوب بشناسی، کلید اصلی مدل‌سازی را در دست داری.

حجم و مساحت سطح: دو کمیت متفاوت

حجم مقدار فضایی است که جسم اشغال می‌کند و آن را با سانتی‌متر مکعب یا متر مکعب می‌سنجیم. مساحت سطح مجموع مساحت همهٔ رویه‌های بیرونی جسم است و یکای آن سانتی‌متر مربع است. حجم به این پرسش پاسخ می‌دهد که «چقدر ماده یا فضا لازم است» و مساحت سطح به این پرسش که «چقدر پوسته، رنگ یا ورق لازم است». این دو هرگز جای یکدیگر را نمی‌گیرند و حتی آهنگ رشدشان هم یکسان نیست؛ مقایسهٔ مستقیم عدد آن‌ها هم بی‌معناست، چون یکایشان فرق دارد.

حجم‌های پایه‌ای که در این آزمایشگاه با آن‌ها کار می‌کنی شش‌تا هستند: مکعب، مکعب مستطیل، استوانه، مخروط، کره و منشور. مکعب، مکعب مستطیل، استوانه و منشور در دستهٔ اجسام ستونی جای می‌گیرند: قاعده‌ای ثابت دارند که در راستای ارتفاع جارو می‌شود. برای همهٔ این اجسام یک رابطهٔ واحد برقرار است؛ حجم برابر است با مساحت قاعده ضرب در ارتفاع. مخروط و هرم نسخهٔ نوک‌تیز همین ایده‌اند و دقیقاً یک‌سوم حجم جسم ستونیِ هم‌قاعده و هم‌ارتفاع خود را دارند. کره از این الگو بیرون است و رابطهٔ ویژهٔ خودش را دارد.

رابطه‌های کلیدی

مثال عددی حل‌شده

مکعبی با یال a = ۴ سانتی‌متر را در نظر بگیر؛ همان حالتی که شبیه‌ساز این درس با آن آغاز می‌شود. حجم برابر است با V = ۴³ = ۶۴ سانتی‌متر مکعب. مساحت سطح از شش وجه مربعی به دست می‌آید: S = ۶ × ۴² = ۶ × ۱۶ = ۹۶ سانتی‌متر مربع. قطر فضایی، یعنی فاصلهٔ دو رأس روبه‌رو، برابر است با d = a√۳ = ۴ × ۱٫۷۳۲ = ۶٫۹۳ سانتی‌متر. حالا یال را دو برابر کن و به ۸ سانتی‌متر برسان: حجم به ۸³ = ۵۱۲ سانتی‌متر مکعب می‌رسد، یعنی ۸ برابر؛ اما مساحت سطح به ۶ × ۶۴ = ۳۸۴ سانتی‌متر مربع می‌رسد، یعنی تنها ۴ برابر. همین اختلاف آهنگ رشد، یکی از مهم‌ترین درس‌های مدل‌سازی است.

نسبت مساحت سطح به حجم در مکعب برابر ۶ تقسیم بر a است؛ پس هرچه جسم بزرگ‌تر شود این نسبت کوچک‌تر می‌شود. برای یال ۴ این نسبت ۹۶ ÷ ۶۴ = ۱٫۵ بر سانتی‌متر است و برای یال ۸ به ۰٫۷۵ بر سانتی‌متر می‌رسد.

کاربرد در دنیای واقعی

مهندس بسته‌بندی برای برآورد مقوای مصرفی به مساحت سطح نگاه می‌کند و برای برآورد فضای انبار به حجم. طراح قطعهٔ چاپ سه‌بعدی از روی حجم، مقدار ماده و زمان چاپ را حدس می‌زند و از روی مساحت سطح، میزان سنباده و رنگ را. طراح گرمایی می‌داند که گرما از سطح بیرون می‌رود ولی در حجم ذخیره می‌شود؛ به همین دلیل قطعه‌های خنک‌کننده را پره‌پره می‌سازند تا با حجم کم، سطح زیادی داشته باشند. همین منطق ساده توضیح می‌دهد که چرا مکعب یخ ریز زودتر از قالب یخ بزرگ آب می‌شود.