مقیاس، تقارن و ساختن حجم با دوران

ماکت یک ساختمان، مدل کوچک یک خودرو در تونل باد و نسخهٔ بزرگ‌شدهٔ یک قطعه برای نمایشگاه، همه یک کار مشترک انجام می‌دهند: همهٔ اندازه‌ها را در یک عدد ثابت ضرب می‌کنند. به آن عدد ضریب مقیاس می‌گوییم و با k نشانش می‌دهیم. مهم‌ترین درس این جلسه این است که وقتی طول‌ها در k ضرب می‌شوند، مساحت و حجم با همان ضریب رشد نمی‌کنند.

قانون مقیاس

اگر همهٔ ابعاد یک جسم در k ضرب شوند، هر طول در k، هر مساحت در k به توان دو و هر حجم در k به توان سه ضرب می‌شود. دلیلش ساده است: مساحت حاصل‌ضرب دو طول است و حجم حاصل‌ضرب سه طول. پس دو برابر کردن اندازهٔ یک مدل، مساحت سطحش را ۴ برابر و حجمش را ۸ برابر می‌کند. نتیجهٔ مهم دیگر این است که نسبت مساحت سطح به حجم با ضریب یک تقسیم بر k تغییر می‌کند؛ یعنی هرچه جسم بزرگ‌تر شود، به ازای هر واحد حجم سطح کمتری دارد.

مثال عددی حل‌شده

منشور قائم پیش‌فرض شبیه‌ساز را در نظر بگیر: قاعدهٔ مثلث قائم‌الزاویه با ساق‌های ۶ و ۴ و ارتفاع ۱۰ سانتی‌متر. مساحت قاعده ۱۲ و حجم برابر ۱۲۰ سانتی‌متر مکعب است. وتر برابر √۵۲ = ۷٫۲۱ است، پس محیط قاعده ۱۷٫۲۱ و مساحت کل برابر ۱۷۲٫۱۱ + ۲۴ = ۱۹۶٫۱۱ سانتی‌متر مربع می‌شود. حالا این مدل را با ضریب k = ۱٫۵ بزرگ کن: ابعاد به ۹، ۶ و ۱۵ می‌رسند. حجم جدید برابر ۲۷ × ۱۵ = ۴۰۵ سانتی‌متر مکعب است و اگر مستقیم از قانون مقیاس بروی هم به همان جواب می‌رسی، چون ۱۲۰ × ۱٫۵³ = ۱۲۰ × ۳٫۳۷۵ = ۴۰۵. مساحت جدید هم ۱۹۶٫۱۱ × ۱٫۵² = ۱۹۶٫۱۱ × ۲٫۲۵ = ۴۴۱٫۲۵ سانتی‌متر مربع است. توجه کن نسبت سطح به حجم از ۱٫۶۳ به ۱٫۰۹ بر سانتی‌متر افت کرده است، یعنی درست به اندازهٔ یک تقسیم بر ۱٫۵.

تقارن و ساختن حجم با دوران

تقارن ابزار صرفه‌جویی مدل‌ساز است: اگر بدانی جسمی متقارن است، فقط بخشی از آن را می‌سازی و بقیه را آینه یا تکرار می‌کنی. مکعب ۹ صفحهٔ تقارن دارد؛ ۳ صفحه موازی وجه‌ها و ۶ صفحهٔ قطری. کره بی‌شمار صفحهٔ تقارن دارد و استوانه علاوه بر بی‌شمار صفحهٔ گذرنده از محورش، یک صفحهٔ افقی در وسط هم دارد.

ابزار دیگر دوران است. اگر یک شکل تخت را حول یک محور بچرخانی، حجم می‌سازی: چرخاندن مستطیل حول یکی از ضلع‌هایش استوانه می‌دهد، چرخاندن مثلث قائم‌الزاویه حول یکی از ساق‌هایش مخروط می‌سازد و چرخاندن نیم‌دایره حول قطرش کره می‌دهد. مثلاً مستطیلی به ابعاد ۳ در ۸ که حول ضلع ۸ بچرخد، همان استوانهٔ درس پیشین با شعاع ۳ و ارتفاع ۸ را می‌سازد. در نرم‌افزارهای مدل‌سازی این عملیات را Revolve یا خرّاطی می‌نامند و بیشتر قطعه‌های دوار صنعتی با آن ساخته می‌شوند.

قانون مقیاس فقط وقتی برقرار است که همهٔ ابعاد با یک ضریب تغییر کنند. اگر فقط ارتفاع را دو برابر کنی، مدل جدید با مدل قدیم متشابه نیست و رابطهٔ k³ برای حجمش صادق نخواهد بود.

کاربرد در دنیای واقعی

ماکت معماری با مقیاس ۱ به ۵۰ را در نظر بگیر: اتاقی به ابعاد ۵ در ۴ در ۳ متر یعنی ۶۰ متر مکعب، در ماکت به حجمی برابر ۶۰ تقسیم بر ۱۲۵۰۰۰ متر مکعب یعنی تنها ۴۸۰ سانتی‌متر مکعب تبدیل می‌شود. همین قانون توضیح می‌دهد چرا حیوان بزرگ‌تر گرمای بدنش را سخت‌تر دفع می‌کند و چرا اگر مدل چاپ سه‌بعدی را دو برابر کنی، هزینهٔ ماده و زمان چاپش نه دو برابر بلکه حدود هشت برابر می‌شود.