استوانه و منشور: خانوادهٔ اجسام ستونی

قوطی نوشابه، لولهٔ آب، پروفیل آلومینیومی و ستون بتنی همگی یک ویژگی مشترک دارند: مقطعشان در تمام طول یکسان است. به چنین اجسامی جسم ستونی می‌گوییم. استوانه و منشور دو نمایندهٔ اصلی این خانواده‌اند و اگر رابطهٔ آن‌ها را بفهمی، در واقع رابطهٔ همهٔ قطعه‌های اکسترودشدهٔ صنعتی را فهمیده‌ای.

اصل ستونی و رابطهٔ استوانه

هستهٔ ماجرا یک جملهٔ کوتاه است: در هر جسم ستونی، حجم برابر است با مساحت قاعده ضرب در ارتفاع. اگر قاعده دایره باشد به استوانه می‌رسیم و اگر چندضلعی باشد به منشور. برای استوانه‌ای با شعاع r و ارتفاع h داریم V = πr²h. مساحت سطح استوانه از دو بخش می‌آید: دو قاعدهٔ دایره‌ای که روی‌هم ۲πr² می‌شوند و یک سطح جانبی. اگر سطح جانبی را با قیچی ببری و باز کنی، مستطیلی به دست می‌آید که یک ضلعش محیط دایره یعنی ۲πr و ضلع دیگرش ارتفاع h است؛ پس مساحت جانبی برابر ۲πrh است. مجموع این‌ها را می‌توان جمع‌وجور نوشت: S = ۲πr(r + h).

برای منشور قائم هم همین ساختار برقرار است: حجم برابر مساحت قاعده ضرب در ارتفاع، و مساحت سطح برابر دو برابر مساحت قاعده به‌علاوهٔ محیط قاعده ضرب در ارتفاع. در شبیه‌ساز این آزمایشگاه، منشور یک منشور قائم با قاعدهٔ مثلث قائم‌الزاویه است که دو ساق آن a و b و ارتفاعش h است؛ پس مساحت قاعده برابر نصف حاصل‌ضرب a در b می‌شود.

مثال عددی حل‌شده

استوانه‌ای با شعاع r = ۳ و ارتفاع h = ۸ سانتی‌متر را در نظر بگیر. مساحت قاعده برابر π × ۳² = ۹π است و حجم برابر ۹π × ۸ = ۷۲π که تقریباً ۲۲۶٫۱۹ سانتی‌متر مکعب می‌شود. مساحت جانبی برابر ۲π × ۳ × ۸ = ۴۸π یعنی حدود ۱۵۰٫۸۰ سانتی‌متر مربع است. دو قاعده روی‌هم ۱۸π یعنی حدود ۵۶٫۵۵ سانتی‌متر مربع می‌شوند و مساحت کل به ۶۶π یعنی نزدیک ۲۰۷٫۳۵ سانتی‌متر مربع می‌رسد.

حالا منشوری با ساق‌های قاعدهٔ ۶ و ۴ و ارتفاع ۱۰ سانتی‌متر: مساحت قاعده برابر ۶ × ۴ ÷ ۲ = ۱۲ سانتی‌متر مربع و حجم برابر ۱۲ × ۱۰ = ۱۲۰ سانتی‌متر مکعب است. وتر قاعده برابر √(۳۶ + ۱۶) = √۵۲ = ۷٫۲۱ سانتی‌متر است، پس محیط قاعده ۱۷٫۲۱ سانتی‌متر و مساحت جانبی ۱۷۲٫۱۱ سانتی‌متر مربع می‌شود؛ با افزودن دو قاعده، مساحت کل به حدود ۱۹۶٫۱۱ سانتی‌متر مربع می‌رسد.

در حجم استوانه شعاع به توان دو ظاهر می‌شود ولی ارتفاع به توان یک. یعنی دو برابر کردن شعاع حجم را ۴ برابر می‌کند، در حالی که دو برابر کردن ارتفاع فقط ۲ برابرش می‌کند. لولهٔ کلفت‌تر خیلی زودتر از لولهٔ بلندتر پرحجم می‌شود.

کاربرد در دنیای واقعی

مخزن آب استوانه‌ای با شعاع ۰٫۵ متر و ارتفاع ۱٫۲ متر را در نظر بگیر: حجم آن π × ۰٫۲۵ × ۱٫۲ = ۰٫۹۴۲ متر مکعب یعنی حدود ۹۴۲ لیتر است. همین محاسبه در طراحی بویلر، سیلوی غله و مخزن سوخت تکرار می‌شود. صنعت قوطی‌سازی هم دقیقاً روی همین رابطه‌ها بهینه می‌کند: برای حجم ثابت، کمترین ورق فلز وقتی مصرف می‌شود که ارتفاع قوطی برابر قطر آن باشد. در ساخت‌وساز هم پروفیل‌ها و تیرآهن‌ها منشورهایی با قاعدهٔ پیچیده‌اند و وزنشان از حاصل‌ضرب مساحت مقطع در طول و چگالی به دست می‌آید.