مخروط و کره: حجم‌هایی با مقطع متغیر

تا اینجا با اجسامی کار کردی که مقطعشان در تمام ارتفاع یکسان بود. مخروط و کره دو حجم‌اند که این قانون را می‌شکنند: در مخروط، مقطع هرچه بالاتر می‌رویم کوچک‌تر می‌شود تا در نوک به صفر برسد و در کره، مقطع از استوا به سمت دو قطب کوچک می‌شود. همین تغییر مقطع باعث می‌شود رابطه‌هایشان ضریب‌های تازه‌ای داشته باشد.

مخروط: یک‌سوم استوانه

مخروط قائم از یک قاعدهٔ دایره‌ای به شعاع r و یک رأس ساخته می‌شود که درست بالای مرکز قاعده و در ارتفاع h قرار دارد. حجم آن دقیقاً یک‌سوم استوانه‌ای است که همان قاعده و همان ارتفاع را دارد؛ یعنی V = πr²h ÷ ۳. برای مساحت سطح به کمیت تازه‌ای نیاز داریم: یال مایل یا کشیدهٔ جانبی که فاصلهٔ رأس تا لبهٔ قاعده است و از رابطهٔ فیثاغورس به دست می‌آید: l = √(r² + h²). مساحت جانبی برابر πrl و مساحت کل برابر S = πr(r + l) است.

کره و کشف ارشمیدس

کره مجموعهٔ همهٔ نقطه‌هایی است که فاصلهٔ ثابت r از یک مرکز دارند. حجم آن V = ۴πr³ ÷ ۳ و مساحت سطحش S = ۴πr² است. ارشمیدس نشان داد اگر کره‌ای را دقیقاً داخل استوانه‌ای بگذاری که شعاعش برابر شعاع کره و ارتفاعش برابر قطر کره باشد، حجم کره دقیقاً دو سوم حجم آن استوانه و مساحت سطح کره دقیقاً برابر مساحت جانبی استوانه است. این رابطه چنان زیبا بود که بنا به روایت، تصویرش را روی سنگ مزار او کندند.

مثال عددی حل‌شده

مخروطی با شعاع r = ۴ و ارتفاع h = ۹ سانتی‌متر را حساب می‌کنیم. حجم برابر است با π × ۱۶ × ۹ ÷ ۳ = ۴۸π که تقریباً ۱۵۰٫۸۰ سانتی‌متر مکعب می‌شود. یال مایل برابر √(۱۶ + ۸۱) = √۹۷ = ۹٫۸۵ سانتی‌متر است. مساحت جانبی برابر π × ۴ × ۹٫۸۵ = ۱۲۳٫۷۶ و مساحت قاعده برابر ۱۶π = ۵۰٫۲۷ سانتی‌متر مربع است، پس مساحت کل به حدود ۱۷۴٫۰۳ سانتی‌متر مربع می‌رسد. برای مقایسه، استوانه‌ای با همین شعاع و ارتفاع حجمی برابر ۱۴۴π یعنی ۴۵۲٫۳۹ سانتی‌متر مکعب دارد که دقیقاً ۳ برابر مخروط است.

حالا کره‌ای با شعاع ۵ سانتی‌متر: حجم برابر ۴π × ۱۲۵ ÷ ۳ = ۵۲۳٫۶۰ سانتی‌متر مکعب و مساحت سطح برابر ۴π × ۲۵ = ۳۱۴٫۱۶ سانتی‌متر مربع است. استوانهٔ محیطی این کره شعاع ۵ و ارتفاع ۱۰ دارد و حجمش ۷۸۵٫۴۰ سانتی‌متر مکعب است؛ نسبت ۵۲۳٫۶۰ به ۷۸۵٫۴۰ دقیقاً دو سوم است.

در میان همهٔ اجسام با حجم برابر، کره کمترین مساحت سطح را دارد. به همین دلیل قطرهٔ آب در حالت بی‌وزنی کروی می‌شود و مخازن گاز فشرده را کروی می‌سازند: کمترین ورق فولاد و یکنواخت‌ترین توزیع تنش.

کاربرد در دنیای واقعی

در مدل‌سازی، مخروط پایهٔ ساخت قیف، نوک مته، سرپوش برج و بسیاری از قطعه‌های دوار است و کره پایهٔ ساخت گنبد، بلبرینگ، لنز و مدل سیاره‌هاست. در صنعت غذایی، حجم بستنی قیفی و در مهندسی شیمی، حجم مخروط تهِ سیلو با همین رابطه برآورد می‌شود. مقدار رنگ لازم برای پوشاندن یک گنبد کروی هم مستقیماً از مساحت ۴πr² می‌آید، نه از حجم آن.