مکعب مستطیل: حجم، مساحت سطح و قطر فضایی

مکعب مستطیل، که در مدل‌سازی به آن جعبه یا Box هم می‌گویند، پرکاربردترین حجم پایه است. تقریباً هر مدل‌سازی از یک جعبه شروع می‌شود: دیوار اتاق، بدنهٔ یخچال، قاب گوشی و پالت انبار همه در نگاه اول جعبه‌اند. برخلاف مکعب که فقط یک اندازه دارد، جعبه سه اندازهٔ مستقل دارد و همین آزادی باعث می‌شود بتوان با آن هم شکل‌های کشیده ساخت و هم شکل‌های تخت.

تعریف و رابطه‌ها

مکعب مستطیل جسمی است با شش وجه مستطیلی که وجه‌های روبه‌رو دوبه‌دو برابر و موازی‌اند و همهٔ زاویه‌ها قائمه هستند. اگر سه بُعد آن را a، b و h بنامیم، حجم از حاصل‌ضرب هر سه به دست می‌آید: V = a·b·h. برای مساحت سطح، سه جفت وجه داریم؛ یک جفت به مساحت ab، یک جفت به مساحت bh و یک جفت به مساحت ah. پس S = ۲(ab + bh + ah). کمیت سومی هم مهم است: قطر فضایی، یعنی درازترین پاره‌خطی که داخل جعبه جا می‌شود و از رابطهٔ d = √(a² + b² + h²) به دست می‌آید. این همان عددی است که تعیین می‌کند یک میلهٔ بلند در جعبه جا می‌شود یا نه.

یادآوری یکاها هم لازم است: هر ۱۰۰۰ سانتی‌متر مکعب برابر یک لیتر و هر ۱۰۰۰ لیتر برابر یک متر مکعب است. در محاسبه‌ها همیشه اول همهٔ ابعاد را به یک یکا تبدیل کن، وگرنه نتیجه هزار برابر اشتباه می‌شود.

مثال عددی حل‌شده

جعبه‌ای با ابعاد a = ۵، b = ۳ و h = ۷ سانتی‌متر را در نظر بگیر؛ همان حالت پیش‌فرض شبیه‌ساز این درس. حجم برابر است با V = ۵ × ۳ × ۷ = ۱۰۵ سانتی‌متر مکعب. برای مساحت سطح، سه حاصل‌ضرب را جدا حساب می‌کنیم: ab = ۱۵، bh = ۲۱ و ah = ۳۵. مجموع این سه ۷۱ است و پس S = ۲ × ۷۱ = ۱۴۲ سانتی‌متر مربع. قطر فضایی هم برابر است با d = √(۲۵ + ۹ + ۴۹) = √۸۳ = ۹٫۱۱ سانتی‌متر.

حالا یک نمونهٔ بزرگ‌تر: کارتنی به ابعاد ۳۰ در ۲۰ در ۱۵ سانتی‌متر. حجم آن ۳۰ × ۲۰ × ۱۵ = ۹۰۰۰ سانتی‌متر مکعب یعنی ۹ لیتر است. مساحت سطحش هم ۲ × (۶۰۰ + ۳۰۰ + ۴۵۰) = ۲ × ۱۳۵۰ = ۲۷۰۰ سانتی‌متر مربع، یعنی ۰٫۲۷ متر مربع مقوا. اگر قیمت هر متر مربع مقوا معلوم باشد، هزینهٔ هر کارتن بلافاصله به دست می‌آید.

برای یک حجم ثابت، هرچه جعبه به مکعب نزدیک‌تر باشد مساحت سطح کمتری دارد. سه جعبه با حجم یکسان ۶۴ سانتی‌متر مکعب را مقایسه کن: جعبهٔ ۴×۴×۴ مساحت ۹۶، جعبهٔ ۸×۴×۲ مساحت ۱۱۲ و جعبهٔ ۸×۸×۱ مساحت ۱۶۰ سانتی‌متر مربع دارد. هر چه شکل کشیده‌تر یا تخت‌تر شود، پوستهٔ بیشتری لازم است.

کاربرد در دنیای واقعی

شرکت‌های حمل‌ونقل هزینه را بر پایهٔ «وزن حجمی» می‌بندند و آن را از روی حجم جعبه حساب می‌کنند؛ به همین دلیل بسته‌بندی کشیده و پرهوا گران‌تر تمام می‌شود. در ساختمان‌سازی، حجم بتن یک فونداسیون و مساحت قالب‌بندی آن دو برآورد جداگانه‌اند که هر دو از همین رابطه‌ها می‌آیند. در مدل‌سازی رایانه‌ای هم برای هر شیء یک «جعبهٔ مرزی» تعریف می‌شود تا موتور بازی بتواند برخوردها را سریع تشخیص دهد؛ آن جعبه دقیقاً همین مکعب مستطیل است و ابعادش از بزرگ‌ترین اندازهٔ مدل در سه راستا می‌آید.