آینه‌های کروی: کاو و کوژ

یک قاشق براق را بردار و در دو طرف آن به تصویر خودت نگاه کن. در سطح گود قاشق، صورتت وارونه و کشیده دیده می‌شود؛ در سطح برجستهٔ پشت آن، صورتت راست اما کوچک است. همان یک تکه فلز، دو رفتار کاملاً متفاوت دارد، چون خمیدگی سطح تعیین می‌کند که پرتوهای بازتابیده به هم برسند یا از هم دور شوند. این درس دربارهٔ همین آینه‌های کروی است.

هندسهٔ آینهٔ کروی

آینهٔ کروی بخشی از یک کره است. مرکز آن کره را مرکز انحنا (C) و شعاعش را شعاع انحنا (R) می‌نامیم. نقطهٔ وسط آینه رأس است و خطی که رأس و مرکز انحنا را به هم وصل می‌کند محور اصلی نام دارد. اگر سطح بازتابنده به سمت مرکز انحنا باشد آینه کاو (مقعر) است و اگر پشت به آن باشد آینه کوژ (محدب) است.

باریکه‌ای موازی محور اصلی که به آینهٔ کاو بتابد، پس از بازتاب همگی از یک نقطه روی محور می‌گذرند: کانون. برای پرتوهای نزدیک به محور، این نقطه درست وسط رأس و مرکز انحناست، یعنی f = R/۲. در آینهٔ کوژ همین باریکه واگرا می‌شود و امتداد پشتی پرتوها در نقطه‌ای پشت آینه هم‌رس می‌شود؛ پس کانون مجازی است و f منفی می‌گیرد. قرارداد ما این است: R و f برای آینهٔ کاو مثبت و برای آینهٔ کوژ منفی‌اند.

رابطهٔ آینه و بزرگ‌نمایی

خوشبختانه رابطهٔ آینه دقیقاً هم‌شکل رابطهٔ عدسی است: ۱/f = ۱/do + ۱/di و m = −di/do. تنها تفاوت در معنای علامت‌هاست؛ در آینه، di مثبت یعنی تصویر حقیقی و جلوی آینه (همان‌جا که جسم است) و di منفی یعنی تصویر مجازی و پشت آینه. تصویر حقیقی را می‌توان روی پرده گرفت، تصویر مجازی را نه.

آینهٔ کوژ همیشه — بدون هیچ استثنا — تصویری مجازی، راست و کوچک‌تر می‌سازد، هرجا که جسم باشد. آینهٔ کاو اما رفتاری وابسته به محل جسم دارد: دورتر از مرکز انحنا تصویر حقیقیِ کوچک‌شده، بین کانون و مرکز انحنا تصویر حقیقیِ بزرگ‌شده و نزدیک‌تر از کانون تصویر مجازیِ بزرگ‌شده می‌دهد.

مثال عددی حل‌شده

جسمی به ارتفاع ۸ سانتی‌متر در فاصلهٔ ۳۰ سانتی‌متری از آینه‌ای کاو با شعاع انحنای ۴۰ سانتی‌متر قرار دارد. تصویر کجاست و چه ویژگی‌هایی دارد؟ سپس همین جسم را جلوی آینه‌ای کوژ با همان اندازهٔ شعاع بگذار و نتیجه را مقایسه کن.

گام یکم: فاصلهٔ کانونی برابر است با f = R/۲ = ۴۰ ÷ ۲ = ۲۰ سانتی‌متر.

گام دوم: ۱/di = ۱/f − ۱/do = ۱/۲۰ − ۱/۳۰. مخرج مشترک ۶۰ است، پس ۱/di = ۳/۶۰ − ۲/۶۰ = ۱/۶۰ و di = ۶۰ سانتی‌متر. مثبت‌بودن di یعنی تصویر حقیقی است و ۶۰ سانتی‌متر جلوی آینه تشکیل می‌شود.

گام سوم: m = −di/do = −۶۰ ÷ ۳۰ = −۲. پس تصویر وارونه و دو برابر بزرگ‌تر است و ارتفاعش hi = −۲×۸ = −۱۶ سانتی‌متر می‌شود. کنترل: جسم بین کانون (۲۰) و مرکز انحنا (۴۰) است، پس طبق نکتهٔ بالا باید تصویری حقیقی و بزرگ‌شده بگیریم؛ درست است.

گام چهارم (آینهٔ کوژ): حالا R = −۴۰ و f = −۲۰ است. پس ۱/di = −۱/۲۰ − ۱/۳۰ = −(۳+۲)/۶۰ = −۱/۱۲ و di = −۱۲ سانتی‌متر، یعنی تصویری مجازی ۱۲ سانتی‌متر پشت آینه. بزرگ‌نمایی برابر است با m = −(−۱۲) ÷ ۳۰ = +۰٫۴، یعنی تصویری راست و کوچک‌شده به ارتفاع ۳٫۲ سانتی‌متر.

یک کاربرد واقعی

آینهٔ کوژِ بغل خودرو دقیقاً به همین دلیل انتخاب می‌شود: تصویر همیشه راست و کوچک است، پس میدان دید بسیار وسیعی در یک آینهٔ کوچک جا می‌گیرد. هزینه‌اش این است که اجسام دورتر از آنچه هستند به نظر می‌رسند و برای همین روی آینه می‌نویسند اجسام نزدیک‌تر از تصویرند. در سوی دیگر، آینهٔ کاو در چراغ جلوی خودرو و پروژکتور به کار می‌رود؛ لامپ را در کانون می‌گذارند تا باریکه‌ای موازی و دوربرد بیرون بیاید. تلسکوپ‌های بزرگ نیز به جای عدسی از آینهٔ کاو استفاده می‌کنند، چون ساخت آینهٔ بزرگ ارزان‌تر است و خطای رنگی هم ندارد.